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\title{Feuille d'exercices 9}
\date{~-14-12-11-}
\author{Terminale S 2, 2011-2012, Y. Angeli}

\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle

\exo[Croissances comparées]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $e^x>x$ pour $x$ réel. (méthode : étudier les variations de $x\mapsto e^x-x$).
\item En déduire $\ds \frac{ e^{2x}}{2x}>\frac{x}2$ pour $x>0$. (méthode : élever au carré l'égalité précédente).
\item Conclure quant à la limite de $\ds \frac{e^X}{X}$ lorsque $X$ tend vers $+\infty$.
\item En déduire la limite de $Xe^{-X}$ lorsque $X$ tend vers $-\infty$.
\end{enumerate}

\exo
Soit $f$ la fonction définie par $\ds f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^x-x}$.
\begin{enumerate}
\item Ensemble de définition
\begin{enumerate}
\item Restitution de connaissances : étudier la position relative de la courbe de l'exponentielle et de sa tangente au point $A(0;1)$.
\item En déduire l'ensemble de définition de $f$.
\end{enumerate}
\item Calculer et interpréter les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\item Étude d'une fonction auxiliaire : soit $g:\R\rightarrow\R,~x\mapsto 2e^x-xe^x-1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $g$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\item Étudier les variations de $g$.
\item Montrer que $g(x)=0$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$.
\item Donner des valeurs approchées à $10^{-1}$ près de $\alpha$ et $\beta$.
\item Étudier le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $\R$ et que $f'(x)=\ds \frac{g(x)}{(e^x-x)^2}$ pour $x$ réel.
\item Dresser le tableau de variations complet de $f$.
\item Tangente à l'origine.
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $h:\R\to\R,x\mapsto e^x-1-xe^x+x^2$. En déduire que $h(x)=0$ admet exactement deux solutions que l'on déterminera.
\item Déterminer la position relative de la courbe de $f$ et de sa tangente à l'origine.
\end{enumerate}
\item Représenter la courbe de $f$ et ses éléments remarquables.
\end{enumerate}

\exo[Facultatif : concours général]
Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[0;1]$ telle que $\ds f(x)\neq f\left(x+\frac 3{10}\right)$ pour tout $x\in[0;\frac 7{10}]$ et $f(0)=f(1)=0$. Démontrer que $f$ s'annule au moins $7$ fois.
\newpage
\exo 
Un capital $C$ rapport chaque année $t\%$ d'intérêts (qui sont calculés à partir du capital et des intérêts déjà obtenus). Au bout de quinze ans, le capital a doublé. Que vaut $t$ (à 0,01 près) ?

\exo
Soit un réel $\omega>0$ et $(E)$ l'équation différentielle $y''+\omega^2~y=0$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $y$ est solution de $(E)$ alors la fonction $f$ définie par $f(x)=(\omega~y)^2+(y')^2$ sur $\R$ est une fonction constante.
\item En déduire qu'une solution $y$ de $(E)$ est la fonction nulle si et seulement si $y(0)=y'(0)=0$.
\item Soit $y$ une solution de $(E)$, et $h$ la fonction définie sur $\R$ par \[h(t)=y(t)-(y(0)\cos(\omega~t)+\frac 1\omega y'(0)~\sin(\omega t))\] Montrer que $h$ est solution de $(E)$. Que valent $h(0)$, $h'(0)$, $h(t)$ pour $t\in\R$  ? 
\item Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$.
\item Soit $\omega=2$ et $y$ la solution de $(E)$ telle que $y(0)=\sqrt{2}$ et $y'(0)=2\sqrt{2}$. Montrer que pour tout réel $t$, $y(t)=2\cos(2t-\frac\pi 4)$.
\end{enumerate}
\end{document}








% Découper suivant les pointillés
\hspace{-3em}\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorRight} \hrulefill~\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorLeft}