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\title{Feuille d'exercices 19}
\date{~-16-02-12-}
\author{Terminale S 2, 2011-2012, Y. Angeli}

\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle
\normalsize
\exo[Métropole septembre 2008]
Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.\\
 La roue A comporte 18~cases noires et 2~cases rouges.\\
  La roue B comporte 16~cases noires et 4~cases rouges.\\
   Lors du lancer d'une roue toutes les cases ont la même probabilité d'être obtenues.\\
    La règle du jeu est la suivante :
    \begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 	Le joueur mise 1~\euro{} et lance la roue A.
\item[$\bullet~$]	S'il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.
\item[$\bullet~$]	S'il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

\item  Soient E et F les évènements :

    \begin{itemize}
\item[] E :  « à l'issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges »
\item[] F :  « à l'issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».
\end{itemize}
Montrer que $p(\text{E}) =  0,02$ et $p(\text{F}) =  0,17$.

\item  Si les 2~cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10~\euro{}; si une seule des cases est rouge le joueur
reçoit 2~\euro ; sinon il ne reçoit rien.\\
$X$ désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1~\euro).
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item   Calculer l'espérance mathématique de $X$ et en donner une interprétation.
	\end{enumerate}
\item Le joueur décide de jouer $n$ parties consécutives et indépendantes ($n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la probabilité $p_{n}$ qu'il lance au moins une fois la roue B est telle que $p_{n} =  1 - (0,9)^n$.
		\item   Justifier que la suite de terme général $p_{n}$ est convergente et préciser sa limite.
		\item   Quelle est la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle $p_{n} > 0,9$ ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo[Asie juin 2010]
Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
 
Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
 
L'évènement : \og le $n$-ième sondage est positif \fg{} est noté $V_{n}$, on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $V_{n}$. 

\medskip

L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que: 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d'être aussi positif; 
\item[$\bullet~$] si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d'être aussi négatif. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : $p_{1} = 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item A : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont positifs \fg{} ; 
		\item B : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont négatifs \fg.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la probabilité $p_{3}$ pour que le 3\up{e} sondage soit positif. 
\item $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Représenter par un arbre pondéré la situation des sondages $n$ et $n+1$.
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, établir que : $p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,1$. 
\item On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = p_{n} - 0,2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $u$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer la limite, quand $n$ tend vers $+ \infty$, de la probabilité $p_{n}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{document}