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\title{Devoir maison 9 : pour le}
\date{~-16-11-11-}
\author{Terminale S 2, 2011-2012, Y. Angeli}

\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle

\section*{Exercice 1. Irrationalité de  $e$}
\noindent Pour tout entier $n\geq 2$, la \textit{factorielle} de $n$ est le nombre définit par $n!=1\times 2\times...\times(n-1)\times n$. Par convention, on note $0!=1!=1$.\\
\noindent Soient $(u_n)_{n\in\N}$ et $(v_n)_{n\in\N}$ les suites définies par $u_n=\ds\sum_{k=0}^n\frac1{k!}$ et $\ds v_{n}=u_n+\frac1{n!}$ pour tout $n\geq 1$.\\
\begin{enumerate}
\item Calculer $n!$ pour tout entier naturel $n\leq 5$, et, pour tout $n\in\N$, simplifier $\frac{n+1}{(n+1)!}$.
\item Montrer que pour tout entier $n\geq 1$, $n!\geq n$.
\item Calculer les cinq premiers termes de $(u_n)$ ainsi que $v_5$.
\item Montrer que les suites $(v_n)$ et $(u_n)$ sont adjacentes. On admet que leur limite commune est le nombre $e$.
\item À partir de quel $n$ a-t-on $v_n-u_n<10^{-8}$ ? En déduire une valeur approchée de $e$ à $10^{-8}$.
\item On suppose que $e=\frac pq$ avec $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. Pourquoi peut-on dire que $u_q<e<u_q+\frac1{q!}$ ? En déduire $q!u_q<(q-1)!p<q!u_q+1$. Expliquer pourquoi $q!u_q\in\N$ et conclure à une contradicton, qui montre que $e$ est irrationnel.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2. Composée d'une exponentielle et d'un trinôme}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=e^{-x^2+2x+3}$
\begin{enumerate}
\item Rappeler la valeur de $e^0$. Résoudre $f(x)=1$.
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Étudier les variations de $f$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3. Composée d'un trinôme et d'une exponentielle}
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=-e^{2x}+2e^x+3$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\item Montrer que $g$ est dérivable sur $\R$ et que pour tout $x\in\R$, $g'(x)=2e^x(1-e^x)$.
\item Étudier les variations de $g$.
\end{enumerate}
\end{document}








% Découper suivant les pointillés
\hspace{-3em}\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorRight} \hrulefill~\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorLeft}