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  \null
\Large
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\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

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\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

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\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

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\newenvironment{Ex}[1][Exemple.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

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\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\hfill$\square$\end{trivlist}}

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\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newcounter{exos}
\newcommand{\exo}[1][]{\addvspace{\baselineskip}\stepcounter{exos} \noindent \textsc{\large Exercice \theexos.} #1\par \addvspace{0.5\baselineskip} \noindent}


\pagestyle{empty}
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\title{Devoir Maison 15 : pour le }
\date{~-07-03-12-}
\author{Terminale S 2, 2011-2012, Y. Angeli}

\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle
\normalsize
\exo
Dans un lot de 100 pièces de monnaie toutes de même apparence, ont été 
mélangées  60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées. La probabilité d'apparition de \og Face \fg{} lors d'un jet d'une 
pièce truquée	est $\dfrac{3}{4}$.

\emph{Les résultats  seront donnés sous forme de fractions
 irréductibles.} 

\begin{enumerate} 
\item On prend une pièce au hasard et on la lance : 

 soit T l'évènement : \og la pièce est truquée \fg{},

 soit F l'évènement : \og on obtient Face \fg{} .

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité d'obtenir \og Face \fg{} (on pourra s'aider d'un
 arbre).

		\item Quelle est la probabilité que la  pièce soit truquée sachant que 
l'on a obtenu \og Face \fg{} ?

	\end{enumerate}

\item On considère un jeu dont la mise est $10$ euros, et qui consiste à choisir une des 100 pièces et à la lancer. Si le résultat est face, on ne gagne rien, sinon on gagne $a$ euros. Soit $G$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique de ce jeu.
\begin{enumerate}
\item Exprimer l'espérance de $G$ en fonction de $a$.
\item Comment choisir $a$ pour que le jeux soit équitable ?
\end{enumerate} 

\item On prend une pièce au hasard et on la lance quatre fois.

\begin{itemize}
\item  si au cours des quatre lancers on obtient quatre fois \og Face \fg{},
on  décide d'éliminer la pièce,

\item   dans le cas contraire, on décide de conserver la pièce.
\end{itemize}

On note E l'évènement  \og la pièce est éliminée \fg{}.

	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité que la pièce soit  éliminée  sachant qu'elle est équilibrée ?

		\item Quelle est  la probabilité que la pièce soit conservée sachant
 qu'elle est truquée ?

		\item Quelle est la probabilité d'avoir pris une pièce équilibrée et
 de l'avoir éliminée ou d'avoir pris une pièce truquée et de l'avoir 
 conservée ? 

                \item Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu'elle est truquée ? En déduire $P(E)$.

                 
	\end{enumerate}

\item On suppose dans cette question que la probabilité qu'une pièce truquée tombe sur \og Face \fg~ est $x\in]0;1[$. On cherche à décrire une expérience parfaitement équiprobable avec cette pièce. Pour cela : 
\begin{itemize}
\item On effectue une série de deux lancers indépendants de la pièce :
\item Si le premier lancer est pile $(P_1)$ et le second face $(F_2)$ on dit avoir obtenu $A$.
\item Si le premier lancer est face $(F_1)$ et le second pile $(P_2)$ on dit avoir obtenu $B$
\item Si les deux lancers donnent des résultats identiques, on recommence l'expérience.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation correspondant à une série de deux lancers par un arbre.
\item Quelle est la d'obtenir $A$ lors de la première série de deux lancers ? d'obtenir $B$ ? De devoir refaire une série de deux lancers ? 
\item Montrer que $P(A)=x(1-x)+(x^2+(1-x)^2)P(A)$ et en déduire $P(A)$.
\item Conclure.
\end{enumerate}

\item \textbf{facultatif} Soit $N$ la variable aléatoire égale au nombre de séries de deux lancers nécessaire avant d'obtenir un résultat $A$ ou $B$
\begin{enumerate}
\item Étudier la fonction $p:]0;1[\to\R,~x\mapsto x^2+(1-x)^2$. Quel est l'axe de symétrie de sa courbe ?
\item Démontrer que pour tout entier $k\geq 1$, $P(N\geq k)=(p(x))^k$. 
\item Déduire $P(N=k)$ de : $(N\geq k)=(N\geq k+1)\cup(N=k) $.
\item Expliquer pourquoi  $\mathbb E(N)=\ds\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n P(T\geq k)$.
\item En déduire $\mathbb E(N)$  en fonction de $x$ et interpréter ce nombre. 
\item Calculer la limite lorsque $x$ tend vers $0$ et vers $1$ de $\mathbb{E}(N)$. Interpréter. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\newpage
\exo
\noindent Le plan est muni d'un repère orthonormé \Ouv.

\exo[Caractérisation des triangles équilatéraux]
Soient $A,B,C$ trois points d'affixes respectives $a,b,c\in\C$.
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $z^3=1$. Montrer que $z$ est solution si et seulement si $|z|=1$ et $\arg(z)=0\mod\frac{2\pi}3$.
\item En déduire que cette équation admet trois solutions : $1,j=e^{\frac{2i\pi}3}$ et $j^2$.
\item Montrer que $j^3-1=(j^2+j+1)(j-1)$, puis
$ j^3=1~;~ (j^2)^2=j~;~ j^2+j+1=0~;~j^2=\bar j$
\item Montrer que : $ABC$ est équilatéral direct $\ssi~b-c=e^{\frac{i\pi}3}(a-c)$.
\item En déduire\footnotemark : \fbox{$ABC$ équilatéral direct $\ssi a+bj+cj^2=0$}
\end{enumerate}
\footnotetext{\textit{indication :} multiplier l'égaltié de la question précédente par $j$...}

\exo[Application : Théorème de Napoléon]
On veut démontrer le théorème suivant : \\

\noindent\fb{
\textbf{Théorème.}\footnotemark~ Soit $ABC$ un triangle direct quelconque. Soient $A'(a'),B'(b'),C'(c')$ tels que $BA'C$, $CB'A$ et $AC'B$ soient des triangles équilatéraux directs. On note $A''(a'')$, $B''(b'')$ et $C''(c'')$ les centres de gravités respectifs de ces trois triangles.\\
Alors $A''B''C''$ est un triangle équilatéral direct de même centre de gravité que $ABC$.
}
\begin{enumerate}
\item En utilisant l'équivalence de l'exercice 1, traduire les définitions de $A',B'$ et $C'$ par trois égalités de nombres complexes.
\item Calculer $a''+jb''+j^2c''$ et $a''+b''+c''$ puis conclure.
\end{enumerate}
\footnotetext{Ce théorème porte le nom de Napoléon Bonaparte (1769-1821), qui, en dépit de son goût pour les mathématiques, et de ses connaissances en la matière acquises lors de sa formation d'artilleur, n'en n'est sans doute pas l'auteur...}

\exo[Point de Toricelli : \textbf{facultatif  et difficile}]
\normalsize
\begin{enumerate}
\item Montrer que $c-c'=c+jb+j^2a$. Calculer de même $a-a'$ et $b-b'$. \\  En déduire $j^2(a-a')=j(b-b')=c-c'$.
\item En déduire :
\begin{itemize}
\item Les segments $[AA']$, $[BB']$ et $[CC']$ sont de même longueur.
\item $(\vect{AA'},\vect{BB'})=(\vect{BB'},\vect{CC'})=(\vect{CC'},\vect{AA'})=\dfrac{2\pi}3\mod2\pi$
\end{itemize}
\item Les droites $(AA')$ et $(BB')$ sont sécantes. Pourquoi ? Soit $T(t)$ leur point d'intersection. Montrer qu'il existe $\alpha,\beta\in\R$ tels que $(1):~\alpha(a-a')=t-b$ et $(2):~\beta(b-b')=t-a$.
\item En ajoutant $j^2$ fois l'équation $(1)$ à $j$ fois l'équation $(2)$, montrer : $-(\alpha+\beta)(c-c')=-t+c'$. En déduire que les droite $(AA'),(BB')$ et $(CC')$ sont concourantes en $T$. 
\item On choisit dans la suite \Ouv~orthonormé de sorte que $\vec u$ et $\vect{TA}$ soient de même sens, et $T=O$ (ainsi $t=0$).
\begin{enumerate}
\item Montrer\footnote{$|z|=z\ssi z$ réel positif} : $|a|=a~;\quad |b|=j^2b~;\quad |c|=jc$.
\item Montrer que pour tout $z\in\C$, $(a-z)+j^2(b-z)+j(c-z)=|a|+|b|+|c|$.
\item En déduire :  $|a-z|+|b-z|+|c-z|\geq |a|+|b|+|c|$. (inégalité triangulaire ?)
\item En conclure que la somme des distances $AM+BM+CM$ est minimale pour $M=T$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\footnotetext{l'inégalité triangulaire $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ est une égalité seulement si $\arg(z)=\arg(z')$.}
\end{document} 
\exo[Facultatif et difficile]
Soit $\theta\in]0;2\pi[$. On définit la suite (complexe) $(z_n)_{n\in\N$ par  $z_n=e^{in\theta}$ pour $n\in\N$.
\begin{enumerate}
\item[5] Montrer que $(z_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison.
\item Démontrer que pour tout $n\in\N,~\ds E_n=\sum_{k=0}^ne^{ik\theta}=e^{i\frac{n\theta}{2}}\times\frac{\sin\left(\frac {(n+1)\theta}2\right)}{\sin(\frac\theta2)}$.\\
 (indication : transformer séparément les deux côtés. Formules d'Euler ?) 
\item Déduire de 2 : si $\theta=\frac {2\pi}N$, alors $E_{N-1}=0$ et les suites $(E_n)$ et $(z_n)$ sont périodiques de période $N$.
\item Déduire de 2 : \fbox{$\ds\sum_{k=0}^n\cos(n\theta)=\frac{\cos(\frac{n\theta} 2)\sin\left(\frac{(n+1)\theta}2\right)}{\sin(\frac\theta2)}$}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}