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\title{Devoir maison 1 : pour le}
\date{~-14-09-11-}
\author{Terminale S 2, 2011-2012, Y. Angeli}

\begin{document}
\large
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle
Soit $f$ la fonction définie par $\ds f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}$.\\

Soit $\mathcal C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij~ d'unité $2$~cm. Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=x$.

\subsection{Partie A. Ensemble de définition et symétrie}
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal D_f$ maximal de $f$.
\item Démontrer que $f$ est une fonction impaire, et l'interpréter géométriquement.
\end{enumerate}
\subsection{Parte B. Comportement asymptotique}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\ds \lim_{x\to~1,x>1}f(x)$ et $\ds \lim_{x\to~1,x<1}f(x)$. Interpréter géométriquement.
\item Montrer qu'il existe, et déterminer, quatre réels $a,b,c,d$ tels que pour tout $x\in\mathcal D_f$, \[ f(x)=ax+b+\frac{cx+d}{x^2-1}\]
\item Démontrer que $\mathcal C_f$ admet la droite $\Delta$  comme asymptote oblique au voisinage de $+\infty$. En déduire $\ds \lim_{x\to+\infty} f(x)$.
\item Étudier la position relative de $\mathcal C_f$ et $\Delta$ pour $x>0$.
\end{enumerate}
\subsection{Partie C. Variations et courbe}
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in\mathcal D_f$, calculer $f'(x)$.
\item Dresser le tableau de signes de $f'$ ainsi que le tableau de variations de $f$ pour $x\geq 0$.
\item Représenter toutes les asymptotes et les tangentes horizontales de $\mathcal C_f$, puis $\mathcal C_f$ elle même.
\end{enumerate}
\subsection{Partie D. Tangentes parallèles à $\Delta$}
\begin{enumerate}
\item Soit $T_{x_0}$ la tangente à $\mathcal C_f$ au point d'abscisse $x_0$. Déterminer son coefficient directeur.
\item Démontrer qu'il n'existe pas de tangente à $\mathcal C_f$ parallèle à $\Delta$.
\end{enumerate}
\end{document}








% Découper suivant les pointillés
\hspace{-3em}\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorRight} \hrulefill~\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorLeft}