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  \null
\Large
\begin{center} \ovalbox{
\begin{tabular}{c}
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{\@author}
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\end{center}\large
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\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

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\newcounter{exos}
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\title{Contrôle 7 : Logarithmes}
\date{~-14-02-12-}
\author{Terminale S 2, 2011-2012, Y. Angeli}

\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle
\normalsize

\exo
On considère l'équation notée (E) : $ \ln x = -x$.

\medskip
 
Le but de l'exercice est de prouver que l'équation (E), admet une solution unique notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ et d'utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement. 

\medskip

\noindent\textbf{Partie A : existence et unicité de la solution}\\ 
On considère la fonction $f$ défmie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $f (x) = x + \ln x$. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\end{enumerate}


\noindent \textbf{Partie B : encadrement de la solution} {\boldmath$\alpha$}\\ 
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $g(x) = \dfrac{4x - \ln x}{5}$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étude de quelques propriétés de la fonction $g$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
	\item En déduire que pour tout $x\in\left[\dfrac{1}{2}~;~ 1\right],~ g(x)$ appartient à cet intervalle. 
	\item Démontrer qu'un nombre réel $x\in]0~;~ +\infty[$ est solution de l'équation  (E) si et seulement si $g(x) = x$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = g\left(u_{n}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le sens de variation de la fonction $g$, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $\dfrac{1}{2} \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant 1$. 
	\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$.
	\end{enumerate} 
\item Recherche d'une valeur approchée de $\alpha$

	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $u_{10}$, arrondie à la sixième décimale. 
	\item On admet que $u_{10}$ est une valeur approchée par défaut à $5 \times 10^{-4}$ près de $\alpha$. 
	
En déduire un encadrement d'amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\exo
Soient $a$ et $b$ deux nombres r\'eels strictement positifs tels que $a <b$.\\
On d\'esigne par A et par B les points d'abscisses respectives $a$ et $b$ de la courbe $\Gamma$ repr\'esentative de la
fonction logarithme n\'ep\'erien dans un rep\`ere orthononnal \Oij.\\
 Les points Q et R sont les projet\'es orthogonaux respectifs des points A et B sur l'axe des ordonn\'ees.

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Donner l'\'equation r\'eduite de la tangente (T) au point A \`a la courbe $\Gamma$.
\item  D\'eterminer l'ordonn\'ee du point d'intersection P de (T) avec l'axe des ordonn\'ees.\\
Calculer la longueur PQ. En d\'eduire une construction simple de (T) ;  la r\'ealiser sur la figure
en annexe.
 \end{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organis\'ee de connaissances}\\
On suppose connue la propri\'et\'e :\\
 \og  Pour tout couple $(x~;~ y)$ de nombres r\'eels strictement positifs, on a $\ln (xy) = \ln (x)+ \ln (y)$. \fg\\
En d\'eduire que, pour tout nombre r\'eel $m$ strictement positif, on a $\ln \left(\sqrt{m}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(m)$.
\item  Utiliser le r\'esultat de la question 2 pour placer sur l'axe des abscisses le point G d'abscisse $\sqrt{ab}$. Expliquer la construction et la r\'ealiser sur la figure de l'annexe 1 (on laissera les traits de construction apparents).
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
\newpage


\begin{center}\textbf{ANNEXE 1}\\

(\emph{\`A rendre avec la copie)} \end{center}

\vspace{1cm}
\textbf{Exercice 1}\\

\bigskip
\psset{xunit=1.25cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,0)(0,1)
\psplot{0.5}{9}{x ln}
\psline[linestyle=dotted](2.4,0)(2.4,0.8755)(0,0.8755)
\psline[linestyle=dotted](6.6,0)(6.6,1.887)(0,1.887)
\uput[u](8.5,0){$x$}\uput[r](0,4.5){$y = \ln x$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ul](2.4,0.8755){A} \uput[d](2.4,0){$a$}
\uput[ul](6.6,1.887){B} \uput[d](6.6,0){$b$}
\uput[l](0,0.8755){Q} \uput[l](0,1.887){R}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}

\end{document}