\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{fltpoint} %pour les calculs de z, à charger avant le reste,sinon erreur
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,extarrows}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fourier-orns}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{pifont}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont,bbding}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{lscape}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pst-grad,pst-tree,pst-math,pst-eucl,pst-text}
\usepackage{pstricks-add}

%\everymath{\displaystyle}
\newcommand{\roc}{\textsc{[roc]}~}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\newcommand{\ent}{{\rm E}}
\newcommand{\ch}{{\rm ch}}
\newcommand{\sh}{{\rm sh}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\cd}[1]{\noindent\shadowbox{\begin{minipage}{\textwidth} #1 \end{minipage}}}
\newcommand{\fb}[1]{\fbox{\begin{minipage}{\textwidth} #1 \end{minipage}}}
\newcommand{\Ci}[1]{\Tcircle{#1}}         % cercle
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\Ouv}{$(O;\vec u,\vec v)$}
\newcommand{\Oij}{$(O;\vec \imath,\vec \jmath)$}
\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}
\newcommand{\pt}{$\bullet$~}
\newcommand{\RC}{\Pisymbol{psy}{191}\par}
\newcommand{\nsubset}{\subset \!\!\!\!\! /}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}


\makeatletter
\def\maketitle{%
  \null
\Large
\begin{center} \ovalbox{
\begin{tabular}{c}
\textsc{\@title~\@date}\\
{\@author}
\end{tabular}
}
\end{center}\large
}
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                   {\normalfont\Large\sc}}
\renewcommand\subsection{\@startsection {subsection}{6}{\z@} {-1.7ex \@plus -.5ex \@minus -.1ex}{1.3ex \@plus.1ex} {\normalfont\large\bf}}
\makeatother
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}.}

\newenvironment{Def}[1][Définition.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Thm}[1][Théorème.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Df}[1][Définition.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Mt}[1][Méthode.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Th}[1][Théorème.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Ex}[1][Exemple.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Pp}[1][Propriété.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Rq}[1][Remarque.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Pv}[1][Preuve.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\hfill$\square$\end{trivlist}}

\newenvironment{Nt}[1][Notation.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newcounter{exos}
\newcommand{\exo}[1][]{\addvspace{\baselineskip}\stepcounter{exos} \noindent \textsc{\large Exercice \theexos.} #1\par \addvspace{0.5\baselineskip} \noindent}


\pagestyle{empty}
\setlength{\hoffset}{-18pt}   
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}  % Marge gauche sur pages impaires  
\setlength{\evensidemargin}{9pt}  % Marge gauche sur pages paires  
\setlength{\marginparwidth}{54pt}  % Largeur de note dans la marge  
\setlength{\textwidth}{481pt}  % Largeur de la zone de texte (17cm)  
\setlength{\voffset}{-18pt}  % Bon pour DOS  
\setlength{\marginparsep}{7pt}  % Séparation de la marge  
\setlength{\topmargin}{0pt}  % Pas de marge en haut  
\setlength{\headheight}{13pt}  % Haut de page  
\setlength{\headsep}{10pt}  % Entre le haut de page et le texte  
\setlength{\footskip}{27pt}  % Bas de page + séparation  
\setlength{\textheight}{25cm}  % Hauteur de la zone de texte (25cm)  

\title{Chapitre 9 : Probabilités  finies}
\date{~-15-02-12-}
\author{Terminale S 2, 2011-2012, Y. Angeli}

\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle

\section{Vocabulaire}
\cd{
\begin{Df} Une \textit{une expérience aléatoire} est un processus dont le résultat est incertain.\\ On appelle \textit{univers} d'une expérience aléatoire l'ensemble $\Omega$ des \textit{issues} possibles de l'expérience (ou \textit{évènements élémentaires}). Dans ce chapitre, on suppose que l'univers est un ensemble \textbf{fini}\\
Définir la \textit{loi de probabilité} d'une expérience aléatoire dont l'univers est fini, c'est associer à chaque issue possible un nombre entre $0$ et $1$ (sa \textit{probabilité}) qui représente les chances ou les risques que l'expérience aboutisse à ce résultat. \\
La somme des probabilités de chacune des issues possibles doit valoir $1$.
\end{Df}
}
\begin{Ex} Le lancer d'une pièce équilibrée est une expérience aléatoire d'univers $\Omega=\{$pile,face$\}$.\\
La probabilité de l'évènement élémentaire \og pile \fg~ est $\P($pile$)=0,5$ et de même, $\P($face$)=0,5$.\\
On a bien défini une loi de probabilité : $\P($pile$)+\P($face$)=1$.
\end{Ex}

\danger~L'univers $\Omega$ n'est pas un nombre, mais un ensemble : dans l'exemple précédent, l'univers $\Omega$ est l'ensemble composé des 2 issues \og pile\fg~et \og face\fg\\

\cd{\begin{Df} La loi de probabilité d'une expérience aléatoire est dite \textit{équirépartie} si chaque évènement élémentaire a la même probabilité. Si l'univers $\Omega$ compte $n$ issues possibles, la probabilité de chacune des issues est donc $\frac 1n$.
\end{Df}
}

\begin{Ex} On considère l'expérience aléatoire consistant au lancer d'un dé équilibré.\\
Quelle indication signifie que la loi de probabilité est équirépartie ? \dotfill\\
\noindent Lister les issues qui composent l'univers de l'expérience : $\Omega=$\dotfill\\

\noindent Décrire la loi de probabilité de cette expérience :
$\begin{array}{|l|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|} \hline \text{Issue} & & & & & & \\ \hline \text{Probabilité} & & & & & & \\ \hline\end{array}$
\end{Ex}

\subsection{Évènement}
\cd{\begin{Df} Étant donnée une expérience aléatoire, un \textit{évènement} $A$ est une partie de l'univers $\Omega$ : il est donc composé d'un certain nombre d'issues possibles de l'expérience.\\
La probabilité d'un évènement $A$ est le nombre noté $\P(A)$ qui est la somme des probabilités de chacunes des issues qui composent l'évènement $A$. Ce nombre représente la chance ou le risque que l'évènement se produise.\end{Df}}

\begin{Ex} On reprend l'exemple du lancer de dé.\\
Soit $A$ l'évènement \og le résultat est strictement plus grand que 4\fg. On note $A=\{5,6\}$ et\\ $\P(A)=\P(5)+\P(6)=\frac 1 6+\frac 16=\frac 26=\frac 13$.\\
Soit $B$ l'évènement \og le résultat est pair\fg. $B=$\dotfill\\
$\P(B)=$\dotfill.
\end{Ex}

\begin{Rq} Si la loi de probabilité est équirépartie : \fbox{$\P(A)=\dfrac{\text{nombre d'issues dans $A$}}{\text{nombre total d'issues dans $\Omega$}}$}
\end{Rq}

\section{Opérations sur les évènements}
\noindent On considère une expérience aléatoire d'univers fini $\Omega$ et $A\subset\Omega$ et $B\subset\Omega$ deux évènements.
\subsection{Évènement certain, évènement impossible}
\noindent L'évènement \textit{certain} $\Omega$ est composé de toutes les issues possibles : sa probabilité est \fbox{$\P(\Omega)=1$}\\ Il est certain que cet évènement se réalise.\\
\noindent L'évènement \textit{impossible} $\varnothing$ ne contient aucune des issues possibles : sa probabilité est \fbox{$\P(\varnothing)=0$}\\ Il est certain que cet évènement ne se réalise pas.
\subsection{Évènement contraire}
\noindent L'évènement \textit{contraire} de l'évènement $A$ est l'évènement $\bar A$ composé des toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans $A$. Sa probabilité est \fbox{$\P(\bar A)=1-\P(A)$}\\

\vspace{-0.8cm}

\noindent\begin{minipage}[c]{0.75\linewidth}
\begin{Ex} On reprend l'expérience du dé, $A=\{5,6\}$ et $B=\{2,4,6\}$.\\
Décrire $\bar B$ par une liste, par une phrase, et  donner sa probabilité.\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
En général : $\bar \varnothing=\phantom{MMMM}$; $\bar{\bar A}=$
\end{Ex}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.25\linewidth}
\newrgbcolor{qqtttt}{0 0.2 0.2}
\newrgbcolor{zzzzzz}{0.6 0.6 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.5,-0.5)(5,3.5)
\rput{0.38}(2.76,1.51){\psellipse[linecolor=zzzzzz,fillcolor=zzzzzz,fillstyle=solid,opacity=0.15](0,0)(2.12,1.5)}
\rput{3.22}(1.97,1.54){\psellipse[linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1.0](0,0)(1.1,0.84)}
\rput{3.22}(1.97,1.54){\psellipse(0,0)(1.1,0.84)}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](1.26,1.5)
\rput[bl](1.34,1.54){{$A$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](4.26,1.52)
\rput[bl](3.6,1.72){{$\bar A$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](3,3)
\rput[bl](3.08,3.04){{$\Omega$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\vspace{-0.6cm}

\subsection{Intersection d'évènements}
\noindent L'\textit{intersection} des évènements $A$ et $B$ est l'évènement noté $A\cap B$.\\
Cet évènement est réalisé lorsque $A$ \textbf{et} $B$ sont réalisés en même temps.\\
Lorsque $A\cap B=\varnothing$, $A$ et $B$ sont dits \textit{incompatibles} ou \textit{disjoints}. \\

\vspace{-1cm}

\noindent\begin{minipage}[c]{0.75\linewidth}
\begin{Ex} On reprend l'expérience du dé, $A=\{5,6\}$ et $B=\{2,4,6\}$.\\
Décrire $A\cap B$ par une liste, par une phrase et donner sa probabilité. \\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
En général : $\bar A\cap A=\phantom{MMMM}$; $A\cap\Omega=\phantom{MMMM}$; $A\cap\varnothing=$
\end{Ex}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.25\linewidth}
\newrgbcolor{qqtttt}{0 0.2 0.2}
\newrgbcolor{zzzzzz}{0.6 0.6 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.5,-0.5)(5,3.5)
\small
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzzzzz,opacity=0.15](2.57,2.26)(2.73,2.16)(2.84,2.06)(2.93,1.97)(2.99,1.88)(3.03,1.76)(3.07,1.59)(3.05,1.44)(3.02,1.33)(2.96,1.21)(2.85,1.06)(2.77,0.98)(2.67,0.92)(2.58,0.86)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzzzzz,opacity=0.15](2.58,0.86)(2.49,0.94)(2.41,1.03)(2.32,1.15)(2.27,1.25)(2.23,1.37)(2.21,1.5)(2.21,1.63)(2.23,1.75)(2.26,1.87)(2.32,1.99)(2.41,2.11)(2.49,2.19)(2.57,2.26)
\rput{0.38}(2.76,1.51){\psellipse(0,0)(2.12,1.5)}
\rput{3.22}(1.97,1.54){\psellipse[linecolor=zzzzzz](0,0)(1.1,0.84)}
\rput{-2.17}(3.47,1.55){\psellipse(0,0)(1.27,0.99)}
\rput{3.22}(1.97,1.54){\psellipse(0,0)(1.1,0.84)}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](1.26,1.5)
\rput[bl](1.31,1.53){{$A$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](4.26,1.52)
\rput[bl](3.85,1.65){{$B$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](3,3)
\rput[bl](3.05,3.02){{$\Omega$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](2.68,1.58)
\rput[bl](2.25,1.5){\scriptsize{$A\cap B$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\vspace{-0.6cm}

\subsection{Union d'évènements}
\noindent L'\textit{union} des évènements $A$ et $B$ est l'évènement noté $A\cup B$, il est réalisé lorsque $A$ \textbf{ou} $B$ sont réalisés. (c'est-à-dire si $A$ est réalisé ou $B$ est réalisé ou $A$ et $B$ sont réalisés en même temps).\\
Une \textit{partition} de l'univers $\Omega$ est un ensemble d'évènements deux à deux incompatibles $A_1,...,A_k$ tels que $A_1\cup ...\cup A_k=\Omega$. (recouvrement sans superposition).\\
On a alors : \fbox{$\P(A_1)+...+\P(A_k)=1$}.

\vspace{-0.7cm}

\noindent\begin{minipage}[c]{0.75\linewidth}
\begin{Ex} On reprend l'expérience du dé, $A=\{5,6\}$ et $B=\{2,4,6\}$.\\
Décrire $A\cup B$ par une liste, par une phrase, et donner sa probabilité.\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
$\star$ $(A\cap B)\cup(A\cap \bar B)=\phantom{MM}$;  $A\cup\bar A=\phantom{MMM}$; $\overline{A\cup B}=$
\end{Ex}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.25\linewidth}
\newrgbcolor{qqtttt}{0 0.2 0.2}
\newrgbcolor{zzzzzz}{0.6 0.6 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.5,-0.5)(5,3.5)
\small
\rput{0.38}(2.76,1.51){\psellipse(0,0)(2.12,1.5)}
\rput{3.22}(1.97,1.54){\psellipse[fillcolor=zzzzzz,fillstyle=solid,opacity=0.15](0,0)(1.1,0.84)}
\rput{-2.17}(3.47,1.55){\psellipse[fillcolor=zzzzzz,fillstyle=solid,opacity=0.15](0,0)(1.27,0.99)}
\rput{3.22}(1.97,1.54){\psellipse(0,0)(1.1,0.84)}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](1.26,1.5)
\rput[bl](1.31,1.53){{$A$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](4.26,1.52)
\rput[bl](3.85,1.65){{$B$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](3,3)
\rput[bl](3.05,3.02){{$\Omega$}}
\rput[bl](2.25,1.5){\scriptsize{$A\cup B$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\vspace{-0.6cm}
 
\noindent \textbf{Propriété :} \fbox{$\P(A\cup B)=\P(A)+\P(B)-\P(A\cap B)$} 

\begin{Ex} Trouver et illustrer une formule semblable pour  $\P(A\cup B\cup C)$. \end{Ex}
\newpage
\section{Un exemple}
Sur 1000 ordinateurs vendus, une marchand observe que 80 ont nécessité une réparation dans la deuxième année qui a suivi l'achat (évènement noté $R_2$) et $125$ lors de la troisième année qui a suivi l'achat ($R_3$) dont 20 avaient déjà été réparés lors de la deuxième année. 
\noindent\begin{minipage}[c]{0.75\linewidth}
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & R_2 & \bar R_2\vphantom{\dfrac ab} &\text{Total} \\
\hline \vphantom{\dfrac ab}  R_3 &\phantom{\text{total}} &\phantom{\text{Total}} & \\ 
\hline  \vphantom{\dfrac ab}\bar R_3 & & & \\ 
\hline \vphantom{\dfrac ab}\text{Total} & & &1000 \\ \hline 
\end{array}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.25\linewidth}
\newrgbcolor{qqtttt}{0 0.2 0.2}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.5,-0.5)(5,3.5)
\rput{0.38}(2.76,1.51){\psellipse(0,0)(2.12,1.5)}
\rput{3.22}(1.97,1.54){\psellipse(0,0)(1.1,0.84)}
\rput{-2.17}(3.47,1.55){\psellipse(0,0)(1.27,0.99)}
\rput{3.22}(1.97,1.54){\psellipse(0,0)(1.1,0.84)}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](3,3)
\rput[bl](3.05,3.02){\qqtttt{$\Omega$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

On considère l'expérience aléatoire \og acheter un ordinateur à ce marchand \fg~d'univers $\Omega$ : l'ensemble des 1000 ordinateurs. Compléter : \\
\begin{tabular}{lll}
$R_2\cap R_3$ &\og l'ordinateur à été réparé la seconde et la troisième année\fg &$\P(R_2\cap R_3)=$\\
$\bar R_2$ & &$\P(\bar R_2)=$ \\
$\bar R_2\cap R_3$ & &$\P(\bar R_2\cap R_3)=$ \\
&\og l'ordinateur a subi au moins une réparation\fg & \\
&\og l'ordinateur n'a subi aucune réparation\fg & \\
&\og l'ordinateur a subi une seule réparation \fg & \\
\end{tabular}\\
Sachant que l'ordinateur a été réparé la seconde année, quelle est la probabiltié qu'il le soit aussi la troisième ? (décrire l'expérience et l'univers avant tout !) \dotfill\\
.\dotfill\\
Exprimer le dernier résultat à l'aide de $\P(R_2)$ et $\P(R_2\cap R_3)$ : \dotfill 
\section{Espérance et variance}
\noindent \cd{ Définir une \textit{variable aléatoire} $X$, c'est associer un nombre réel à chacune des issues de $\Omega$.\\
L'évènement \og $X=k$\fg~est l'ensemble des issues pour lesquelles $X$ vaut $k$.\\
La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ associe à chaque valeur possible $k$ de la variable $X$ la probabilité de l'évènement $X=k$.  \\
L'{\it espérance} de cette variable aléatoire est le nombre $\mathbb E(X)=\sum k\times \P(X=k)$\\
 La \textit{variance} de cette loi est le nombre $\mathbb V(X)=\sum (k-\mathbb E(X))^2\times \P(X=k)$\\
 L'{\it écart-type} est le nombre $\sigma=\sqrt {\mathbb V(X)}$.
}
\begin{Rq} L'espérance s'interprète comme une moyenne. Dans le cas d'un jeu, c'est un gain moyen - ou une perte moyenne, si elle est négative. Un jeu est dit équilibré lorsque l'espérance de gain est nulle. La variance et l'écart-type sont des paramètres de dispersion qui se calculent et s'interprètent comme en statistiques.
\end{Rq}
\begin{Ex} Dans l'exemple précédent : la réparation d'un ordinateur la seconde année coûte en moyenne 250\euro~ et la réparation la troisième année coûte 350\euro~ en moyenne. On note $X$ la  variable aléatoire qui associe à chaque ordinateur le coût moyen de ses réparations éventuelles.\\
Quelles valeurs peut prendre $X$ ? Présenter sa loi de probabilité sous forme d'un tableau, calculer son espérance. À quel prix le marchand doit-il fixer l'extension de garantie de un à trois ans pour espérer dégager un bénéfice de 10\euro~ par extension vendue ?
\end{Ex}

\newpage
\section{ Probabilités conditonnelles}
\noindent \cd{Si $\P(A)\neq 0$, on appelle {\it probabilité conditionnelle} de $B$ sachant $A$ le nombre noté $\P_A(B)$, ou parfois $\P(B|A)$, et défini par  $\ds \P_A(B)=\frac {\P(A\cap B)}{\P(A)}$\\
Ce nombre représente la probabilité de l'évènement $A\cap B$ dans l'univers $A$.
}
\textbf{Arbre de choix.} on modélise une situation faisant intervenir les probabilités conditionnelles par un {\it arbre}, se lisant de gauche à droite et constitué de \textit{n\oe uds} et de  {\it branches} : 
\begin{itemize}
\item Chaque n\oe ud représente un évènement (le premier, souvent omis, représente l'univers). 
\item Les branches issues d'un même n\oe ud  aboutissent à des évènements formant une partition.
\item Près de la branche partant du premier n\oe ud et aboutissant à $B$ figure  $\P(B)$. 
\item Près de la branche partant de $A$ et aboutissant à $B$ figure la probabilité $\P_A(B)$.
\end{itemize}

\begin{Ex} On tire deux boules de suite \textit{sans remise} dans un sac contenant $4$ boules indiscernables au toucher : 3 boules Rouges, et un boule Noire. On note $R_1$ l'évènement \og la première boule est rouge\fg, $N_1$ l'évènement \og la première boule est noire\fg. Les évènements $R_1$ et $N_1$ forment une partition. (ses deux situations ne peuvent survenir en même temps et couvrent toutes les possibilités). On définit de même $R_2$ et $N_2$.\\

\noindent{\hspace{37mm}\underline{Boule 1}\hspace{28mm}\underline{Boule 2}\hspace{15mm}\underline{Intersections}}
\begin{center}
\psset{nodesep=3mm,levelsep=40mm,treesep=15mm,nrot=:U}

%\pstree[treemode=R,edge=none]{\Tp}
%       {
%            \pstree{\Tr{\hspace{-2cm}\vphantom{\frac ab}\underline{Tirage 1}}}
%            {
%                \pstree[edge=none,levelsep=5cm]{\hspace{-2cm}\Tr{\hspace{-1.5cm}\underline{Tirage 2}}}{\Tr{\vphantom{\frac ab}\hspace{-2cm}\underline{Intersections}}}
%            }
%       }
\pstree[treemode=R]{\Tr{$(\Omega)$}}
       {
            \pstree{\Tr{$R_1$}\naput{\scriptsize $\P(R_1)=3/4$}}
             {
                \pstree[edge=none,levelsep=5cm]{\Tr{$R_2$}\naput{\scriptsize $\P_{R_1}(R_2)=2/3$}}{\Tr{ : $\P(R_2\cap R_1)=3/4\times 2/3=1/2$}} 
                \pstree[edge=none,levelsep=5cm]{\Tr{$N_2$}\nbput{\scriptsize $\P_{R_1}(N_2)=1/3$}}{\Tr{ : $\P(N_2\cap R_1)=3/4\times 1/3=1/4$}}
             }
            \pstree{\Tr{$N_1$}\nbput{\scriptsize $\P(N_1)=1/4$}}
             {
                \pstree[edge=none,levelsep=5cm]{\Tr{$R_2$}\naput{\scriptsize $\P_{N_1}(R_2)=1$}}{\Tr{ : $\P(N_1\cap R_2)=1/4\times 1=1/4$\phantom{$/3$}}}
             }
       }
\end{center}
\end{Ex}
\noindent \cd{\textbf{Loi des n\oe uds :} La somme des probabilités des branches issues d'un même n\oe ud vaut 1 :\\
si $B_1\dots B_n$ est une partition et $\P(A)\neq 0$ alors :
$\P_A(B_1)+\dots+\P_A(B_n)=1$}
\begin{Pv} C'est une conséquence du fait que $A\cap B_1\dots A\cap B_n$ est une partition de $A$. %Cela permet de déterminer la probabilité associée à une branche si l'on connaît les probabilités associées aux autres branches issues du même n\oe ud.
\end{Pv}
\begin{Ex} Dans l'exemple précédent, on vérifie :\\
$\bullet$~$\P(R_1)+\P(N_1)=3/4+1/4=1\quad \bullet$~$\P_{R_1}(R_2)+\P_{R_1}(N_2)=2/3+1/3=1 \quad \bullet$~$\P_{N_1}(R_2)=1$
\end{Ex}
\cd{ \textbf{Intersections et arbres :} Si un chemin parcouru sur l'arbre (de gauche à droite) passe par les évènements $B_1\dots B_n$, alors $\P(B_1\cap B_2\cap \dots \cap B_n)$ est le produit des probabilités associées à chacune des branches parcourues.}
\begin{Pv}
C'est une conséquence de la définition de $\P_A(B)$ : $\P(A\cap B)=\P(A)\times \P_A(B)$.
\end{Pv}
\cd{\textbf{Formule des probabilités totales.} Si $B_1,\dots,B_n$ forment une partition, la probabilité d'un évènement $A$ est $\P(A)=\P(A\cap B_1)+\P(A\cap B_2)+\dots+\P(A\cap B_n)$.\\
Si aucun des $B_i$ n'est vide :
$\P(A)=\P(B_1)\times \P_{B_1}(A)+\P(B_2)\times \P_{B_2}(A)+\dots+\P(B_n)\times \P_{B_n}\P(A)$
}
\begin{Pv} cela vient aussi du fait que $A\cap B_1\dots A\cap B_n$ est une partition de $A$.\end{Pv}
\begin{Ex} D'après la formule des probabilités totales : \\ $\P(R_2)=\P(R_1\cap R_2)+\P(N_1\cap R_2)=1/2+1/4=3/4$. \\
Ainsi : $\P_{R_2}(R_1)=\frac{P(R_1\cap R_2)}{P(R_2)}=\frac {1/2}{3/4}={2/3}$. (on peut \og retourner\fg~l'arbre)
\end{Ex}
\newpage
\section{Évènements indépendants}
\noindent \cd{ Deux évènements $A$ et $B$ sont {\it indépendants} si et seulement si $\P(A\cap B)=\P(A)\times \P(B)$}
\begin{Rq} Si $A,B\neq\varnothing$ sont indépendants, $\P(A\cap B)=\P(A)\times \P_A(B)=\P(A)\times \P(B)$ donc $\P_A(B)=\P(A)$ : le fait que $A$ se soit réalisé n'influe pas sur la probabilité que $B$ a de se réaliser. 
\end{Rq}

\danger~ Cette formule n'est utilisable que si l'on sait que $A$ et $B$ sont indépendants. Réciproquement, pour prouver l'indépendance de $A$ et $B$, il faut calculer chacun des membres et vérifier l'égalité.
\begin{Ex} Dans l'exemple précédent, dire si $R_1$ et $R_2$ sont indépendants : \\
$\left . \begin{array}{lc} \P(R_1\cap R_2)= &\dots\dots\dots\dots \\
\P(R_1)\times \P(R_2)= &\dots\dots\dots\dots \\ \end{array}\right\}\dotfill$
\end{Ex}

\begin{Ex} On considère l'expérience précédente, mais avec un {\it tirage avec remise} :
\begin{center}
\psset{nodesep=3mm,levelsep=40mm,treesep=8mm}  
\pstree[treemode=R]{\Tr{}}
       {
            \pstree{\Tr{$R_1$}}
             {
                  \Tr{$R_2$}
                  \Tr{$N_2$}
             }
            \pstree{\Tr{$N_1$}}
             {
                  \Tr{$R_2$} \Tr{$N_2$}
             }
       }
\end{center}
$\P(R_1\cap R_2)=$\dotfill\\
$\P(N_1\cap R_2)=$\dotfill\\
$\P(R_2)=$\dotfill\\
Refaire le calcul et dire si $R_1$ et $R_2$ sont indépendants : \\
$\left . \begin{array}{lc} \P(R_1\cap R_2)= &\dots\dots\dots\dots \\
\P(R_1)\times \P(R_2)= &\dots\dots\dots\dots \\ \end{array}\right\}\dotfill$
\end{Ex}
\section{Loi de Bernoulli, loi binomiale}
\begin{Df}Une expérience aléatoire suit une loi de {\it de Bernoulli} si elle n'a que deux issues possibles $S$ (succès) et $\bar S$ (échec). Il suffit alors de la donnée de $p\in[0;1]$ tel que $\P(S)=p$ et $\P(\bar S)=1-p$ pour définir la loi de probabilité de l'expérience.
\end{Df}
\begin{center}
\psset{nodesep=3mm,levelsep=30mm,treesep=7mm,nrot=:U} 
\pstree[treemode=R]{\Tr{}}
       {
         \Tr{$S$}^{\small $p$}
         \Tr{$\bar S$}_{\small $1-p$}
 
       }
\end{center}
\begin{Ex} On considère le lancer d'un dé équilibré et on note $S$ l'évènement : \og obtenir 6\fg. Donner la loi de probabilité de cette expérinence : $\P(S)=\dots\dots$ $\P(\bar S)=\dots\dots$\end{Ex}

\noindent\cd{Une expérience suit une {\it loi binomiale}\footnotemark ~
si cette expérience est la répétition d'expériences indépendantes suivant une même loi de Bernoulli.\\ Par exemple, du fait de l'indépendance, $\P(S\bar SS\bar S\bar S)=\P(S)^2(1-\P(S))^3$.
}
\footnotetext{on verra plus tard comment calculer systématiquement les probabilités d'évènements d'une expérience qui suit la loi binomiale.}

\begin{Ex} On lance trois dés. Quelle est la probabilité d'obtenir $6$ trois fois ?\\
Quelle est la probabilité d'obtenir $6$ exactement deux fois ? au moins deux fois ? (faire un arbre)\\
Quelle est la probabilité d'obtenir $n$ fois $6$ sur $n$ lancés de dés ? Pour quel $n$ cette probabilité est-elle inférieure à $10^{-6}$ ?
\end{Ex}

\end{document}