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  \null
\Large
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\title{Feuille d'exercices 15 : Logarithmes}
\date{~09-02-12-}
\author{Terminale ES 2, 2011-2012, Y. Angeli}

\begin{document}
\large
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle
\medskip
\large
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(7,4)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot{1}{4}{4 x sub x ln mul}
\psline(1,0)(4,0)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-7,-5)(7,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridwidth=1.5pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-7,-5)(7,4)
\uput[ul](1,0){A} \uput[ul](2,3){B}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1,0)(2,3)
\psplot{-0.7}{2.25}{3 x mul 3 sub}
\psplot{0.265}{6.49}{4 x sub x ln mul}

\rput(2.5,0.5){S}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

On considère la fonction $f$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est représentée ci-dessus dans le plan muni d'un repère orthonormal.

\noindent La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A(1~;~0) et admet la droite (AB) pour tangente à la courbe $\mathcal{C}$.

\textbf{Partie A}

Pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[,~f(x) = (ax + b)\ln x$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item  Sans justifier et par lecture graphique, donner $f(4)$ et  $f'(1)$.
\item  Justifier que $a$ et $b$ sont solutions du système d'équations suivant : 

$\left\{\begin{array}{l c l}
4a + b&=&0\\
a + b&=&3\\
\end{array}\right.$.
 Déterminer $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction précédente est définie pour tout $x$ de $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = (4 - x)\ln x$.

On appelle S l'aire hachurée sous la courbe $\mathcal{C}$.
\begin{enumerate}
\item  Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $]0~;~ + \infty[$ par 
\[F(x) = - \dfrac{1}{2}\left(x^2\ln x - \dfrac{x^2}{2} -  8x\ln x + 8x\right).\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$.
\item  En déduire la valeur exacte de I $= \displaystyle\int_{1}^4 f(x)\:\text{d}x.$
\item  Donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ de S exprimée en unités d'aire. Justifier.
\end{enumerate}


\end{document}








% Découper suivant les pointillés
\hspace{-3em}\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorRight} \hrulefill~\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorLeft}