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\title{Contrôle 7 : Logarithme}
\date{~-26-01-12-}
\author{Terminale ES2, 2010-2011, Y. Angeli}

\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle

\medskip

\noindent\textbf{Partie A.}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par 

\[f(x) = 18 \ln x - x^2 + 16x - 15.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $\ds\lim_{x\to0} f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat.

\item Montrer que pour $x>0$, $f(x)=x\left(18\dfrac{\ln(x)}x-x+16\right)-15$. En déduire $\ds \lim_{x\to+\infty}f(x)$.

\item Calculer $f^{\prime}(x)$. Vérifier que, pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$, on a $f^{\prime}(x) = \dfrac{- 2x^2 + 16x + 18}{x}$. 
 
\item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$. En déduire les variations de la fonction $f$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(1)$. 
		\item Montrer que sur l'intervalle [18~;~19] l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$. Déterminer une valeur approchée par défaut de $\alpha$ à $10^{- 2}$ près. 
		\item En déduire le signe de $f(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0,5~;~25].
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\noindent\textbf{Partie B.}

\medskip

Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l'électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et \np{2500}.\\
 
Si $x\in[0,5;25]$ représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que $f(x)$ représente le bénéfice mensuel de l'entreprise, en milliers d'euros.

\begin{enumerate}
\item Justifier les réponses aux questions suivantes à partir de la partie $A$.
\begin{enumerate}
\item Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l'entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire ? 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de \np{100000}~\euro{} ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $G$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $G(x) = x\ln x - x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~25]. 
\item \emph{Rappel: soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $[a~;~b]$, où $a < b$.\\
La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[a~;~b]$ est le nombre réel $m$ défini  
par $m = \dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.} 
 
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l'entreprise, arrondie à la centaine d'euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et \np{1800} panneaux solaires. 
\end{enumerate}


\end{document}








% Découper suivant les pointillés
\hspace{-3em}\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorRight} \hrulefill~\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorLeft}