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\title{Feuille d'exercices 8 : Logarithmes}
\date{~09-02-11-}
\author{Terminale ES 1, 2010-2011, Y. Angeli}

\begin{document}
\Large
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle
\section{Extrait du sujet bac ES Nouvelle Calédonie sept. 2010 (5pts)}
\noindent \textbf{A.} On considère la fonction $g$ définie sur $[1~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln x - \dfrac{1}{2}.$ 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $g$ sur $[1~;~+\infty[$. 
\item Résoudre l'équation $g(x) = 0$ dans $[1~;~+\infty[$. 
\item En déduire que $g(x) > 0$ si et seulement si $x > \sqrt{\text{e}}$.
\end{enumerate}
\textbf{B.}
On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = 2x^2(\ln x - 1) + 2.$
 \begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item On appelle f' la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~+\infty[,~f'(x) = 4xg(x)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[1~;~+\infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[1~;~+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, dans l'intervalle [2~;~3], l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique notée $\alpha$. 
		\item Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Extrait du sujet bac ES Polynésie septembre 2010 (5pts)}
\noindent Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par $f(x) = - x^2 - x + 4 + \ln (x + 1).$ 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal, donnée en annexe. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~4].
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$. 
\item Justifier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~ 4]. 
\item Montrer que sur l'intervalle [0~;~4], l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$.
 
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,01. En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
\item  On définit la fonction $F$ dérivable sur l'intervalle [0~;~4] par :
\[F(x) = -\dfrac{1}{3}x^3 -\dfrac{1}{2}x^2 + 3x + (x + 1) \ln(x + 1).\] 
Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
\item Soit $\mathcal{A}$ l' aire, en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur la figure fournie en annexe. 
		\item Par lecture graphique, donner un encadrement par deux entiers consécutifs de $\mathcal{A}$. 
		\item Calculer la valeur exacte en unités d'aire de $\mathcal{A}$. Vérifier la cohérence de vos résultats.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\begin{center}
\section*{Annexe}

\psset{xunit=2.7cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-16)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-16)(4.2,4.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 x sub x dup mul sub x 1 add ln add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](4.2,0){$x$}\uput[l](0,4.5){$y$}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,-16)(4,4)
\uput[l](4,-14.4){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}








% Découper suivant les pointillés
\hspace{-3em}\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorRight} \hrulefill~\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorLeft}