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\def\maketitle{%
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\Large
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\title{Devoir maison 5 - à rendre le }
\date{~-08-03-11-}
\author{Terminale ES 1, 2010-2011, Y. Angeli}

\begin{document}
\Large
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle
\noindent {\sc Problème.}\\
Soit $f$ la fonction définie par $\ds f(x)=\frac 1{x\ln x}$, et $\mathcal C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité $0,5$ cm.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
\item Dresser le tableau de signes de $f$.
\item Calculer $\ds \lim_{x\to 1^+}f(x)$ et $\lim_{x\to 1^-}f(x)$. 
\item Calculer $\ds \lim_{x\to 0} f(x)$.
\item Calculer $\ds \lim_{x\to +\infty}f(x)$.
\item Quelles asymptotes la courbe $\mathcal C$ admet-elle ?
\item Montrer que $\ds f'(x)=-\frac{1+\ln x}{(x\ln x)^2}$.
\item Donner l'équation de la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse $e$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Représenter la courbe $\mathcal C$ après avoir tracé ses asymptotes et la tangentes dont on a déterminé l'équation.
\item En remarquant que $\ds f(x)=\frac {\ds \frac 1 x}{\ds \ln x}$, donner une primitive de $f$.
\item Calculer la valeur moyenne $V(t)$ de $f$ sur l'intervalle $]e,t]$, où $t>e$.
\item Montrer que pout tout $t>e$, $\ds V(t)=\frac{\ln(\ln t)}{\ln t}\times\frac{\ln t} t\times \frac{t}{t-e}$.
\item En déduire la limite de $V$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}


\end{document}