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\title{Contrôle 9 : Primitives et intégrales}
\date{~-21-01-11-}
\author{Terminale ES1, 2010-2011, Y. Angeli}

\begin{document}
\Large
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle

Les 8 questions qui suivent sont indépendantes.
\begin{enumerate} 
\item Calculer $\int_2^1\left(2x-\frac{1}{x^2}\right)dx$.
\item Déterminer la primitive $F$ de $f:]0,+\infty[\rightarrow\R,~x\mapsto 2x-\frac 1{x^3}$ qui vérifie $F(1)=0$.
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $\R\rightarrow\R,~x\mapsto x^3$ sur l'intervalle $[-m,m]$ où $m$ est un réel non nul.
\item Soit $g:\R\rightarrow\R$ une fonction continue. Calculer $\int_4^4g(x)dx$.
\item Déterminer l'ensemble des primitives de $h:\left]-\infty,\frac13\right[~x\mapsto \frac{-3}{2\sqrt{1-3x}}$.
\item Soit $u:\R\rightarrow\R,x\mapsto 20x(x^2+1)^9$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $U:\R\rightarrow\R,~x\mapsto (x^2+1)^{10}$ est une primitive de $u$.
\item En déduire une primitive de $v:\R\rightarrow\R,x\mapsto x(x^2+1)^9$.
\end{enumerate}
\item Soit $p$ et $q$ deux fonctions définies sur $\R$ par $p(x)=x^2+x+2$ et $q(x)=x+3$. On note $\mathcal C_p$ et $\mathcal C_q$ leurs courbes respectives dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item Étudier la postion relative des deux courbes.
\item Calculer l'aire de la surface située entre les deux courbes et délimitée en abscisse par $-1\leq x\leq 1$.
\end{enumerate}
\item La courbe ci-dessous représente une fonction $w$ définie sur $[-1,3]$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire en $cm^2$ du triangle $OAB$.
\item Expliquer pourquoi $3\leq\int_0^2w(x)dx\leq 6$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\small
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\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(3,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(3,4)
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\psplot[plotpoints=200]{-1.0}{3.0}{-3*x^2+6*x}
\rput[bl](0.2,-0.28){$f$}
\psdots[linecolor=xdxdff](0,0)
\rput[bl](-0.4,0.3){\xdxdff{$O$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](2,0)
\rput[bl](2.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](1,3)
\rput[bl](1.08,3.12){\xdxdff{$A$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}








% Découper suivant les pointillés
\hspace{-3em}\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorRight} \hrulefill~\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorLeft}