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\Large
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\title{Devoir Maison 4 : pour le}
\date{~-10-02-11-}
\author{Seconde 7, 2010-2011, Y. Angeli}

\begin{document}
\maketitle
\Large
\vspace{-0.3cm}
\section{Caractérisation vectorielle de l'orthocentre}
\vspace{-0.3cm}
Soit $ABC$ un triangle, $O$ le centre de son cercle circonscris et $A',B'$ et $C'$ les milieux respectifs de $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$. Soit $H$ défini par $$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$
\begin{enumerate}
\item Faire une figure pour un triangle scalène (chercher dans le dictionnaire)
\item De quelles droites remarquables $O$ est-il l'intersection ?
\item Montrer que $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA'}$.
\item Déduire de la définition de $H$ que $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OA'}$.
\item Les droites $(OA')$ et $(BC)$ sont-elles perpendiculaires ? Pourquoi ? En déduire que $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
\item Par un raisonnement analogue, démontrer que les droites $(BH)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
\item Que représente $H$ pour le triangle $ABC$ ?
\end{enumerate}
\vspace{-0.3cm}
\section{Caractérisation vectorielle du centre de gravité.}
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'un point $G$ vérifie $\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vect{0}$ si et seulement si $\vect{GA}+2\vect{GA'}=\vect{0}$, si et seulement si $\vect{AG}=\frac23\vect{AA'}$.
\item En déduire que $G$ existe et est l'image de $A$ par une translation de vecteur que l'on précisera. Construire $G$
\item Montrer de même que $\vect{BG}=\frac23\vect{BB'}$ et $\vect{CG}=\frac23\vect{CC'}$.
\item En déduire que $G$ appartient à $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$. Le point $G$ est un point remarquable du triangle, lequel ?
\end{enumerate}
\vspace{-0.3cm}
\section{ Droite d'Euler.}
\vspace{-0.3cm}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OA'}$
\item En déduire que $3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OH}$
\item Montrer alors que lorsque $ABC$ n'est pas équilatéral, $O$, $G$ et $H$ sont alignés. Cette droite s'appelle la {\it droite d'Euler}.
\item Que se passe-t-il lorsque $ABC$ est équilatéral ?
\end{enumerate}
\end{document}








% Découper suivant les pointillés
\hspace{-3em}\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorRight} \hrulefill~\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorLeft}