\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{fltpoint} %pour les calculs de z, à charger avant le reste,sinon erreur
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fourier-orns}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{pifont}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont,bbding}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{lscape}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pst-grad,pst-tree,pst-math,pst-eucl,pst-text}
\usepackage{pstricks-add}

\everymath{\displaystyle}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\cd}[1]{\shadowbox{\begin{minipage}{\textwidth} #1 \end{minipage}}}
\newcommand{\fb}[1]{\fbox{\begin{minipage}{\textwidth} #1 \end{minipage}}}
\newcommand{\Ci}[1]{\Tcircle{#1}}         % cercle
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\Ouv}{$(O;\vec u,\vec v)$}
\newcommand{\Oij}{$(O;\vec \imath,\vec \jmath)$}

\makeatletter
\def\maketitle{%
  \null
\Large
\begin{center} \ovalbox{
\begin{tabular}{c}
\textsc{\@title~\@date}\\
{\@author}
\end{tabular}
}
\end{center}
}
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                   {\normalfont\Large\sc}}
\renewcommand\subsection{\@startsection {subsection}{6}{\z@} {-1.7ex \@plus -.5ex \@minus -.1ex}{1.3ex \@plus.1ex} {\normalfont\Large\bf}}
\makeatother
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}.}

\newenvironment{Def}[1][Définition.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Thm}[1][Théorème.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Df}[1][Définition.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Mt}[1][Méthode.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Th}[1][Théorème.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Ex}[1][Exemple.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Pp}[1][Propriété.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Rq}[1][Remarque.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Pv}[1][Preuve.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{Nt}[1][Notation.]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}

\pagestyle{empty}
\setlength{\hoffset}{-18pt}   
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}  % Marge gauche sur pages impaires  
\setlength{\evensidemargin}{9pt}  % Marge gauche sur pages paires  
\setlength{\marginparwidth}{54pt}  % Largeur de note dans la marge  
\setlength{\textwidth}{481pt}  % Largeur de la zone de texte (17cm)  
\setlength{\voffset}{-18pt}  % Bon pour DOS  
\setlength{\marginparsep}{7pt}  % Séparation de la marge  
\setlength{\topmargin}{0pt}  % Pas de marge en haut  
\setlength{\headheight}{13pt}  % Haut de page  
\setlength{\headsep}{10pt}  % Entre le haut de page et le texte  
\setlength{\footskip}{27pt}  % Bas de page + séparation  
\setlength{\textheight}{25cm}  % Hauteur de la zone de texte (25cm)  

\title{Chapitre 6 : Fonctions affines}
\date{~-28-01-12-}
\author{Seconde 7, 2010-2011, Y. Angeli}

\begin{document}
\Large
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle
\section{Équation réduite d'une droite}
\noindent \begin{minipage}[c]{0.67\linewidth}
\cd{
\begin{Th} Dans un repère, soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ tels que $x_A\neq x_B$. Alors la droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ qui vérifient l'une des équations équivalentes  $$\ds y=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)+y_A$$ $$\Leftrightarrow y=ax+b\quad\text{avec }\left\{
\begin{array}{l} \ds a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\ b=-ax_A+y_A\end{array}\right.$$
\end{Th}
} 
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.3\linewidth}  
\normalsize 
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-1)(3,5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid](2,3.14)(1.86,3.14)(1.86,3)(2,3)
\psplot[linewidth=1.6pt]{-2}{3}{(--1.5--1.5*x)/1}
\psline(1,3)(2,3)
\psline(2,3)(2,4.5)
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{-2}{3}{(-0-0*x)/1}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,-1)(0,5)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\rput[tl](0.76,-0.1){$\vec i$}
\rput[tl](0.2,1.2){$\vec j$}
\rput[tl](-1.95,4.9){$(AB):y=ax+b$}
\psdots[linecolor=xdxdff](-1.01,-0.01)
\rput[bl](-1.3,0.16){\xdxdff{$A$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](1,3)
\rput[bl](0.7,3.14){\xdxdff{$B$}}
\psdots[linecolor=darkgray](0,1.5)
\rput[bl](-0.36,1.56){\darkgray{$b$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](2,4.5)
\rput[bl](1.44,2.62){$1$}
\rput[bl](2.1,3.5){$a$}
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.46,-0.48){\darkgray{$O$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

La seconde équation est l'{\it équation réduite de la droite $(AB)$}, le nombre réel $a$ est son {\it coefficient directeur} et le nombre réel $b$ son {\it ordonnée à l'origine}.
\begin{Pv} On a :
\begin{eqnarray*}
M\in (AB) &\Leftrightarrow& A,B,M\text{ sont alignés}\\
&\Leftrightarrow& \vect{AB}\left(\begin{array}{c} x_B-x_A\\ y_B-y_A
\end{array}\right)\text{ et }\vect{AM}\left(\begin{array}{c} x-x_A\\ y-y_A
\end{array}\right)\text{ colinéaires}\\
&\Leftrightarrow& \text{il existe }k\in\mathbb R\text{ tel que }\vect{AM}=k\vect{AB}\quad(\vect{AB}\neq\vect{0})\\
&\Leftrightarrow& \left\{\begin{array}{l} x-x_A=k(x_B-x_A) \\y-y_A=k(y_B-y_A)\end{array}\right .\\
&\Leftrightarrow& \left\{\begin{array}{l} k=\displaystyle \frac{x-x_A}{x_B-x_A} \\y-y_A=k(y_B-y_A)\end{array}\right .\\
&\Leftrightarrow& y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\times (x-x_A)\\
&\Leftrightarrow& y=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\times (x-x_A)+y_A\\
&\Leftrightarrow& y=a\times (x-x_A)+y_A\\
&\Leftrightarrow& y=ax-ax_A+y_A\\
&\Leftrightarrow& y=ax+b\qquad\square
\end{eqnarray*}
\end{Pv}
\begin{Rq} Dans le cas où $x_A=x_B$ et $y_A\neq y_B$, un raisonnement semblable mène à l'équation $x=x_A$.
\end{Rq}\newpage


\section{Tracé de droites; lecture graphique d'équations de droites}
\noindent \begin{minipage}[c]{0.67\linewidth}
\begin{Mt} Pour tracer une droite d'équation $y=ax+b$ on choisit deux abscisses distinctes $x_1\neq x_2$ et on calcule les ordonnées correpondantes des points de la droite : $A(x_1;ax_1+b)$ et $B(x_2;ax_2+b)$. On place les points dans le repère et on trace la droite $(AB)$.
\end{Mt}
\begin{Ex} Tracer la droite $\mathcal D$ d'équation $y=\ds\frac13 x+1$.\\
\begin{tabular}{|l|p{0.5cm}|p{0.5cm}|}\hline x & & \\ \hline y & & \\ \hline \end{tabular}
\end{Ex}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.3\linewidth}  
\normalsize
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(4,4)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
 \psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{-1}{4}{(-0-0*x)/1}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,-1)(0,4)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\rput[tl](0.76,0.14){$\vec i$}
\rput[tl](0.2,1.2){$\vec j$}
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.46,-0.48){\darkgray{$O$}}
\end{pspicture*}
 \end{minipage}

\noindent \begin{minipage}[c]{0.67\linewidth}
\begin{Mt} Pour lire l'équation rédute d'une droite tracée dans un repère, on choisit deux points $A$ et $B$ sur la droite, de préférence avec des coordonnées simples, puis on utilise le théorème du $1.$ pour déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
\end{Mt}
\begin{Ex} Déterminer l'équation de $\mathcal D$\dotfill\\.\dotfill
\end{Ex}
 \end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}[c]{0.3\linewidth}  
\normalsize 
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(4,4)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{-1}{4}{(-0-0*x)/1}
\psplot[linewidth=1.6pt]{-5.2}{18.36}{(--0.33--0.67*x)/1}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,-1)(0,4)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\rput[tl](0.76,0.14){$\vec i$}
\rput[tl](0.2,1.2){$\vec j$}
\rput[tl](1.62,2.92){$\mathcal D$}
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.46,-0.48){\darkgray{$O$}}
\end{pspicture*}
 \end{minipage}\\

\vspace{-0.3cm}
\noindent .\dotfill\\.\dotfill\\.\dotfill\\
\vspace{-1.2cm}
\section{Équation d'une parallèle}
\vspace{-0.5cm}
\begin{figure}[!h]
 \begin{minipage}[c]{0.67\linewidth}
  \Large
\begin{Pp} Dans un repère, deux droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ d'équations respectives $y=ax+b$ et $y=a'x+b'$ sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur : $a=a'$.
\end{Pp}
{\bf Preuve.} On choisit deux points sur $\mathcal D$ puis $\mathcal D'$ :\\
Les points $A(0;b)$ et $B(1;a+b)$ sont sur $\mathcal D$. \\
Les points $A'(0;b')$ et $B'(1;a'+b')$ sont sur $\mathcal D'$.\\
 \end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}[c]{0.3\linewidth}  
\Large 
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(4,4)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psplot[linewidth=1.6pt]{-1}{4}{(--1.5--0.5*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{-1}{4}{(-0-0*x)/1}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,-1)(0,4)
                         \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\rput[tl](0.76,0.14){$\vec i$}
\rput[tl](0.2,1.2){$\vec j$}
\psplot[linewidth=1.6pt]{-1}{4}{(-1--0.5*x)/1}
\rput[tl](0.6,1.7){$\mathcal D':y=ax+b'$}
\rput[tl](0.62,4){$\mathcal D:y=ax+b$}
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.46,-0.48){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](-5.1,-3.28){$a$}
\end{pspicture*}
 \end{minipage}
\end{figure}
\vspace{-0.3cm}
\noindent Les droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ sont parallèles si et seulement si  $\ds\vect{AB}\left(\begin{array}{c} 1\\ a\end{array}\right)$ et %
$\ds\vect{A'B'}\left(\begin{array}{c} 1\\ a'\end{array}\right)$ sont colinéaires, ce qui équivaut à : $a\times 1-1\times a'=0\Leftrightarrow a=a'.\quad\square$
\begin{Ex} Dans le dernier exemple déterminer l'équation de la droite $\mathcal D'$ parallèle à $\mathcal D$ qui passe par $O$.\dotfill\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
\end{Ex}
\newpage
\section{Systèmes linéaires, intersections de droites}
Dans ce paragraphe, on considère le système, d'inconnues $x$ et $y$ :$$(S):\ds\left\{\begin{array}{l}mx+py+q=0\\m'x+p'y+q'=0\end{array}\right.$$
\cd{
\begin{Th} Le système $(S)$ admet un unique couple de solution si et seulement si le \textit{déterminant} $mp'-m'p\neq 0$. Dans le cas contraire, soit il admet une infinité de solutions, soit il n'en admet qu'une seule.
\end{Th}
}
\begin{Pv} On suppose d'abord $p,p'\neq 0$. On remarque alors que 
\begin{eqnarray*}
(S)&\Leftrightarrow& \ds\left\{\begin{array}{l}py=-mx-q\\p'y=-m'x-q'\end{array}\right.
\Leftrightarrow \ds\left\{\begin{array}{l}\ds y=-\frac m px-\frac q p\\\ds y=-\frac {m'}{p'}x-\frac{q'}{p'}\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow& \ds\left\{\begin{array}{l}\ds y=ax+b\text{ où }a=-\frac m p;~b=-\frac q p\\y=a'x+b'\ds\text{ où }a=-\frac {m'} {p'};~b=-\frac {q'} {p'}\end{array}\right.\\
\end{eqnarray*}
Les couples de solutions $(x,y)$ s'interprétent donc comme les coordonnées des points d'intersections des droites $D$ et $D'$ d'équations respectives $y=ax+b$ et $y=a'x+b'$. Or ces droites se coupent en un point unique si et seulement si elles ne sont pas parallèles, donc si et seulement si 
$$a\neq a'\Leftrightarrow \frac {m}{p}\neq\frac{m'}{p'}\Leftrightarrow mp'\neq m'p\Leftrightarrow mp'-m'p\neq 0$$
Si $p$ ou $p'$ est nul, on peut résoudre $(S)$ et vérifier que le théorème est vrai dans ce cas. $\square$ 
\end{Pv}

\begin{Ex} Déterminer si les systèmes suivants admettent une solution unique :
$$(S_1):\ds\left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\x-2y=0\end{array}\right. ~
(S_2):\ds\left\{\begin{array}{l}4x-y-2=0\\ -2x+\frac 1 2y+1=0\end{array}\right.~
(S_3):\ds\left\{\begin{array}{l}-x-2y=0 \\ 2x+4y+1=0 \end{array}\right.$$
\end{Ex}

\newpage
\section{Exemple de résolution d'un système linéaire.}
Soit $(S):\ds\left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\x-2y=0\end{array}\right.$\\

On a vu que le système admettait un couple de solution unique. On choisit alors l'une des deux méthodes de résolution qui suivent :
\subsection{Méthode de substitution}
On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans l'une des deux équations. Par exemple, $x$ en fonction de $y$ dans la seconde équation :
\[(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\x\ominus2y=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\x=\oplus 2y\end{array}\right.\]
On remplace (ou substitue) $x$ par son expression en fonction de $y$ (ici, $2y$) dans la seconde équation, afin de faire disparaître la variable $x$ :
\[(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3\times(2y)-2y=2\\x=2y\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}6y-2y=2\\x=2y\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4y=2\\x=2y\end{array}\right. \]
On résoud la première équation (avec une seule inconnue) et on remplace le résultat dans la seconde :
\[(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y=\frac 12\\x=2y\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y=\frac 12\\x= 2\times \left(\frac 12\right)\end{array}\right. \Leftrightarrow \\ \left\{\begin{array}{l}y=\frac 12\\x=1\end{array}\right.\]
\subsection{Méthode de combinaison}
On ajoute à une ligne un multiple de l'autre afin de supprimer une inconnue (le résultat est une combinaison des deux lignes) : par exemple on ajoute -3 fois la ligne 2 à la ligne 1 :
\[(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3x-2y-3(x-2y)=2-3\times 0\\x-2y=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3x-2y-3x+6y=2\\x-2y=0\end{array}\right.\]
On résoud la première équation (avec une seule inconnue) et on remplace le résultat dans la seconde :
\[(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4y=2\\x-2y=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y=\frac 12\\x-2\times \left(\frac 12\right)=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \\ \left\{\begin{array}{l}y=\frac 12\\x-1=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \\ \left\{\begin{array}{l}y=\frac 12\\x=1\end{array}\right.\]
\subsection{Conclusion}
Le système admet un couple solution unique $(x,y)=\left(1,\frac 12\right)$.

\newpage
\section{Fonction affines}
\begin{Df} Une {\it fonction affine} est une fonction de la forme $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto ax+b$ où $a,b\in\R$. Lorsque $b$ est nulle, la fonction est dite {\it linéaire}. Lorsque $a$ est nul, la fonction est dite {\it constante}.
\end{Df}

\begin{Pp} Dans un repère, la courbe $\mathcal C$ représentant une fonction affine $f$ définie par $f(x)=ax+b$ est une droite d'équation $y=ax+b$. \end{Pp}
\begin{Pv} La courbe $\mathcal C$ a pour équation $y=f(x)=ax+b$. Ainsi $A(0;b)$ et $B(1;a+b)$ appartienent à $\mathcal C$.\\ Or la droite $(AB)$ a pour équation $y=a'x+b'$ où $$a'=\ds \frac {y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac {a+b-b}{1-0}=a\text{ et }b'=-ax_A+y_A=-a\times 0+b=b$$ donc l'équation de $(AB)$ est $y=ax+b$, et on a bien $(AB)=\mathcal C$. $\square$
\end{Pv}

\begin{Pp} Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=ax+b$. Alors $f$ est strictement croissante sur $\R$ lorsque $a>0$, constante si $a=0$ et strictement décroissante sur $\R$ si $a<0$.
\end{Pp}
\begin{Pv} Pour tous réels $x,x'$ tels que $x<x'$ on a :
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l}
$\bullet$ Si $a>0$ &$\bullet$ Si $a=0$ &$\bullet$ Si $a<0$\\
\hline
$ax<ax'$ &$f(x)=b=f(x')$ &$ax>ax'$\\
donc $ax+b<ax'+b$ &Donc $f$ est constante &donc $ax+b>ax'+b$\\
d'où $f(x)<f(x')$.& &d'où $f(x)>f(x')$.\\
Donc $f$ est strictement & &Donc $f$ est strictement\\
croissante. & &décroissante.
\end{tabular}
\end{center}
\end{Pv}

\begin{Pp} Soit $a\neq 0$ et $b\in\R$. Le signe de la fonction affine $f$ défine par $f(x)=ax+b$ est donné par :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ &$-\infty$ & &$-\frac ba$ & &$+\infty$\\
\hline
$f(x)$ & &signe de $-a$  &0 &signe de $a$ & \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{Pp}
\begin{Pv} On remarque d'abord que $f\left(-\frac b a\right)=a\times \left(-\frac b a\right)+b=-b+b=0$.\\
On suppose $a>0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante. Ainsi, $$\text{si }x<-\frac b a<x' \text{ alors }f(x)<0<f(x').$$
De même, si $a<0$, la fonction $f$ est donc strictement décroissante : $$\text{si }x<-\frac b a<x'\text{ alors }f(x)>0>f(x').\quad\square$$
\end{Pv}
\end{document}