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\title{Chapitre 7 : Probabilités}
\date{~-03-02-12-}
\author{Seconde 2, 2011-2012, Y. Angeli}

\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle
\section{Vocabulaire}
\cd{
\begin{Df} Une \textit{une expérience aléatoire} est un processus dont le résultat est incertain.\\ On appelle \text{univers} d'une expérience aléatoire l'ensemble $\Omega$ des \textit{issues} (ou résultats) possibles de l'expérience.\\
Définir la \textit{loi de probabilité} d'une expérience aléatoire, c'est associer à chaque issue possible un nombre entre $0$ et $1$ (sa \textit{probabilité}) qui représente les chances ou les risques que l'expérience aboutisse à ce résultat. \\
La somme des probabilités de chacune des issues possibles doit valoir $1$.
\end{Df}
}
\begin{Ex} Le lancer d'une pièce équilibrée est une expérience aléatoire.\\
L'univers de cette expérience est l'ensemble : $\Omega=\{$pile,face$\}$.\\
La probabilité de l'issue \og pile \fg~ est $P($pile$)=0,5$ et de même, $P($face$)=0,5$.\\
On a bien défini une loi de probabilité : $P($pile$)+P($face$)=1$.
\end{Ex}

\danger~L'univers $\Omega$ n'est pas un nombre, mais un ensemble : dans l'exemple précédent, l'univers $\Omega$ est l'ensemble composé des 2 issues \og pile\fg~et \og face\fg~.\\

\cd{\begin{Df} La loi de probabilité d'une expérience aléatoire est dite \textit{équirépartie} si chacune des issues possibles a la même probabilité. Si l'univers $\Omega$ compte $n$ issues possibles, la probabilité de chacune des issues est donc $\frac 1n$.
\end{Df}
}

\begin{Ex} On considère l'expérience aléatoire consistant au lancer d'un dé équilibré.\\
Quelle indication signifie que la loi de probabilité est équirépartie ? \dotfill\\

\noindent Lister les issues qui composent l'univers de l'expérience : $\Omega=$\dotfill\\

\noindent Décrire la loi de probabilité de cette expérience :
$\begin{array}{|l|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|} \hline \text{Issue} & & & & & & \\ \hline \text{Probabilité} & & & & & & \\ \hline\end{array}$. 
\end{Ex}

\subsection{Évènement}
\cd{\begin{Df} Étant donnée une expérience aléatoire, un \textit{évènement} $A$ est une partie de l'univers $\Omega$ : il est donc composé d'un certain nombre d'issues possibles de l'expérience.\\
La probabilité d'un évènement $A$ est le nombre noté $P(A)$ qui est la somme des probabilités de chacune des issues possibles de l'évènement. Ce nombre représente la chance ou le risque que l'évènement se produise.\end{Df}}

\begin{Ex} On reprend l'exemple du lancer de dé.\\
Soit $A$ l'évènement \og le résultat est 5 ou 6\fg. On note $A=\{5,6\}$ et\\ $P(A)=P(5)+P(6)=\frac 1 6+\frac 16=\frac 26=\frac 13$.\\
Soit $B$ l'évènement \og le résultat est pair\fg. $B=$\dotfill\\
$P(B)=$\dotfill.
\end{Ex}

\begin{Rq} Si la loi de probabilité est équirépartie : \fbox{$P(A)=\dfrac{\text{nombre d'issues dans $A$}}{\text{nombre total d'issues dans $\Omega$}}$}
\end{Rq}

\section{Évènements}
On considère une expérience aléatoire d'univers $\Omega$ et $A$ et $B$ deux évènements.
\subsection{Évènement certain, évènement vide}
\noindent L'évènement \textit{certain} $\Omega$ est composé de toutes les issues possibles : sa probabilité est \fbox{$P(\Omega)=1$}\\ Il est certain que cet évènement se réalise.\\
\noindent L'évènement \textit{vide} $\varnothing$ ne contient aucune des issues possibles : sa probabilité est \fbox{$P(\varnothing)=0$}\\ Il est certain que cet évènement ne se réalise pas.
\subsection{Évènement contraire}
\noindent L'évènement \textit{contraire} de l'évènement $A$ est l'évènement $\bar A$ composé des toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans $A$. Sa probabilité est \fbox{$P(\bar A)=1-P(A)$}\\

\noindent\begin{minipage}[c]{0.75\linewidth}
\begin{Ex} On reprend l'expérience du dé, $A=\{5,6\}$ et $B=\{2,4,6\}$.\\
Décrire l'évènement $\bar A$ par une liste, par une phrase puis donner sa probabilité. Même question avec $\bar B$.\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
En général : $\bar \varnothing=\phantom{MMMM}$; $\bar{\bar A}=$
\end{Ex}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.25\linewidth}
\newrgbcolor{qqtttt}{0 0.2 0.2}
\newrgbcolor{zzzzzz}{0.6 0.6 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.5,-0.5)(5,3.5)
\rput{0.38}(2.76,1.51){\psellipse[linecolor=zzzzzz,fillcolor=zzzzzz,fillstyle=solid,opacity=0.15](0,0)(2.12,1.5)}
\rput{3.22}(1.97,1.54){\psellipse[linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1.0](0,0)(1.1,0.84)}
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\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](1.26,1.5)
\rput[bl](1.34,1.54){{$A$}}
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\rput[bl](3.6,1.72){{$\bar A$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](3,3)
\rput[bl](3.08,3.04){{$\Omega$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\subsection{Intersection d'évènements}
\noindent L'\textit{intersection} des évènements $A$ et $B$ est un évènement noté $A\cap B$, il est réalisé lorsque $A$ \textbf{et} $B$ sont réalisés en même temps.\\

\noindent\begin{minipage}[c]{0.75\linewidth}
\begin{Ex} On reprend l'expérience du dé, $A=\{5,6\}$ et $B=\{2,4,6\}$.\\
Décrire l'évènement $A\cap B$ par une liste, par une phrase puis donner sa probabilité. Même question avec $A\cap \bar B$.\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
En général : $\bar A\cap A=\phantom{MMMM}$; $A\cap\Omega=\phantom{MMMM}$; $A\cap\varnothing=$
\end{Ex}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.25\linewidth}
\newrgbcolor{qqtttt}{0 0.2 0.2}
\newrgbcolor{zzzzzz}{0.6 0.6 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.5,-0.5)(5,3.5)
\small
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzzzzz,opacity=0.15](2.57,2.26)(2.73,2.16)(2.84,2.06)(2.93,1.97)(2.99,1.88)(3.03,1.76)(3.07,1.59)(3.05,1.44)(3.02,1.33)(2.96,1.21)(2.85,1.06)(2.77,0.98)(2.67,0.92)(2.58,0.86)
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\rput{0.38}(2.76,1.51){\psellipse(0,0)(2.12,1.5)}
\rput{3.22}(1.97,1.54){\psellipse[linecolor=zzzzzz](0,0)(1.1,0.84)}
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\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](1.26,1.5)
\rput[bl](1.31,1.53){{$A$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](4.26,1.52)
\rput[bl](3.85,1.65){{$B$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](3,3)
\rput[bl](3.05,3.02){{$\Omega$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](2.68,1.58)
\rput[bl](2.25,1.5){\scriptsize{$A\cap B$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\subsection{Union d'évènements}
\noindent L'\textit{union} des évènements $A$ et $B$ est l'évènement noté $A\cup B$, il est réalisé lorsque $A$ \textbf{ou} $B$ sont réalisés. (c'est-à-dire si $A$ est réalisé ou $B$ est réalisé ou $A$ et $B$ sont réalisés en même temps).\\

\noindent\begin{minipage}[c]{0.75\linewidth}
\begin{Ex} On reprend l'expérience du dé, $A=\{5,6\}$ et $B=\{2,4,6\}$.\\
Décrire l'évènement $A\cup B$ par une liste, par une phrase puis donner sa probabilité. Même question avec $A\cup \bar B$.\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
En général : $(A\cap B)\cup(A\cap \bar B)=\phantom{MMMM}$;  $A\cup\bar A=$
\end{Ex}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.25\linewidth}
\newrgbcolor{qqtttt}{0 0.2 0.2}
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\small
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\rput[bl](2.25,1.5){\scriptsize{$A\cup B$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\noindent \textbf{Propriété :} \fbox{$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$} 
\newpage
\section{Méthodes}
\subsection{Tableau à double entrée et diagramme}
Un club sportif compte 200 adhérents, dont 160 pratiquent l'activité $A$ et $60$ pratiquent l'activité $B$. On considère l'expérience qui consiste à choisir au hasard un membre du club. Remplir le diagramme et le tableau avec les probabilités apropriées :\\
\noindent\begin{minipage}[c]{0.75\linewidth}
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & A & \bar A\vphantom{\dfrac ab} &\text{Total} \\
\hline \vphantom{\dfrac ab} B &\phantom{\text{total}} &\phantom{\text{Total}} & \\ 
\hline  \vphantom{\dfrac ab}\bar B & & & \\ 
\hline \vphantom{\dfrac ab}\text{Total} & & &1 \\ \hline 
\end{array}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.25\linewidth}
\newrgbcolor{qqtttt}{0 0.2 0.2}
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\rput{3.22}(1.97,1.54){\psellipse(0,0)(1.1,0.84)}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqtttt](3,3)
\rput[bl](3.05,3.02){\qqtttt{$\Omega$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

Exprimer mathématiquement l'évènement $C$ : \og ne pas pratiquer les deux activités \fg~ et déterminer sa probabilité. \dotfill
\begin{Rq} Le nombre à l'intersection de la colonne $A$ et de la ligne $B$ est $P(A\cap B)$. Le total de la colonne $A$ est le nombre $P(A)$. Enfin, $P(A)+P(\bar A)=1$.
\end{Rq}
\subsection{Dénombrer avec un arbre}
L'expérience consiste à lancer trois fois une pièce de monnaie. On note le résultat sous la forme de trois lettres indiquant le résultat de chacun des trois tirages (par exemple, $FPF$ signifie que l'on a obtenu face au premier tirage, pile au second et face au troisième). On modélise toutes les situations par un \og arbre \fg~:\\
\begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
\psset{nodesep=3mm,levelsep=30mm,treesep=5mm}  
\pstree[treemode=R,edge=none]{\Tp}
       {
         \pstree{\Tr{Tirage 1}}
         {
          \pstree{\Tr{Tirage 2}}{\Tr{Tirage 3}}
         }
       }\\

\noindent\pstree[treemode=R]{\Tr{}}
       {
            \pstree{\Tr{$P$}}
            {
                   \pstree{\Tr{$P$}}{\Tr{$P~:~PPP$} \Tr{$F~:~PPF$}}
                   \pstree{\Tr{$F$}}{\Tr{$P~:~PFP$} \Tr{$F~:~PFF$}}
            }
            \pstree{\Tr{$F$}}
            {
                  \pstree{\Tr{$P$}}{\Tr{$P~:~FPP$} \Tr{$F~:~FPF$}}
                  \pstree{\Tr{$F$}}{\Tr{$P~:~FFP$} \Tr{$F~:~FFF$}}
            }
      }
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.35\linewidth}
Décrire par une liste l'évènement $A$ : \og obtenir deux piles\fg~ et déterminer sa probabilité.
\end{minipage}
\subsection{Dénombrer par la \og méthode des cases\fg}
Lorsqu'une expérience est le résultat d'une succession d'expériences, on peut dénombrer le nombre d'issues favorables d'un évènement ou de l'univers en multipliant les nombres d'issues des experiences correspondantes :
\begin{Ex} On tire de cartes, sans remise, au hasard dans un paquet de 32. Quelle est la probabilité d'obtenir une paire d'as ?\\
$\Omega$ : \begin{tabular}{lclcl} carte 1 & &carte 2 & &total \\
\fbox{32} &$\times$ &\fbox{31} &$=$ & 992 \end{tabular} issues. 
$A$ : \begin{tabular}{lclcl} As 1 & &As 2 & &total \\
\fbox{4} &$\times$ &\fbox{3} &$=$ & 12 \end{tabular} issues.\\

Donc  $P(A)=$\dotfill
\end{Ex}

\newpage
\section{Fluctuations d'échantillonage}
Le principe du lien entre fréquence et probabilité est le suivant : on considère une expérience aléatoire et un évènement $A$ : plus on répète l'expérience aléatoire, plus la fréquence d'apparition de l'évènement $A$ s'approche de la probabilité de l'évènement $A$. Précisémment : \\

\cd{\textbf{Théorème.} On effectue $n$ fois une expérience aléatoire et on note $f$ la fréquence de réalisation de l'évènement $A$ et $p$ sa probabilité. Alors dans 95\% des cas \[p\in\left[f-\frac1{\sqrt n}~;~f+\frac1{\sqrt n}\right]\] }

\begin{Ex} On effectue, avant le second tour d'une élection présidentielle, un sondage sur un échantillon représentatif et sincère de $1000$ personnes.\\
 Un candidat obtient $54\%$ d'intentions de vote et l'autre $46\%$ \\
Peut on être certain à $95\%$ que le candidat en tête va gagner ? 
\end{Ex}

\vspace{6cm}
\begin{Ex} On lance $400$ fois une pièce et on obtient $224$ fois face. Peut on être certain à  95\%, que la pièce n'est pas équilibrée ?
\end{Ex}
\end{document}