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\def\maketitle{%
  \null
\Large
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\newenvironment{Pv}[1][Preuve.]{\begin{trivlist}
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\pagestyle{empty}
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\title{Devoir Maison 4 : pour le }
\date{~-08-03-11-}
\author{Première S1, 2010-2011, Y. Angeli}

\begin{document}
\Large
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\maketitle
\vspace{-0.3cm}
\section{Caractérisation d'une bissectrice}
\vspace{-0.3cm}
On rappelle qu'une droite $\mathcal D$ est tangente à un cercle $\mathcal C$ de centre $O$ en $M$ si et seulement si $M\in\mathcal D\cap\mathcal C$ et $(OM)$ est perpendiculaire à la droite.\\
\noindent Soient $O$ et $M$ deux points distincts du plan, $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ deux droites concourantes en $O$, $P$ et $P'$ les projetés orthogonaux respectifs de $M$ sur $\mathcal D$ et $\mathcal D'$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure (à compléter).
\item Exprimer $\sin(\widehat{POM})$ et $\sin(\widehat{P'OM})$.
\item En déduire que $(OM)$ est la bissectrice de $\widehat {POP'}$ $\Leftrightarrow$ $PM=P'M$.
\end{enumerate}
\vspace{-0.5cm}
\section{Point de concours des bissectrices}
\vspace{-0.3cm}
\noindent Dans un triangle $ABC$, Soient $A'$, $B'$, $C'$ les pieds respectifs des bissectrices intérieures de $\hat A$, $\hat B$, $\hat C$. Soit $I$ le point d'intersection de $(AA')$ et $(BB')$. Soient $P,Q,R$ les projetés orthogonaux de $I$ sur $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $IP=IQ=IR$. 
\item En déduire que $(CC')$ passe par $I$. Quelle propriété retrouve-t-on ?
\item Montrer que $I$ est le centre du cercle inscrit à $ABC$.
\end{enumerate}
\vspace{-0.5cm}
\section{Le point de concours comme barycentre}
\vspace{-0.3cm}
\noindent Dans un triangle $ABC$, on pose $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$.\\  Soit $J$ le barycentre du système $\{(A,a),(B,b),(C,c)\}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(a+b+c)\vect{AJ}=b\vect{AB}+c\vect{AC}$.
\item Soient $B''$ et $C''$ les images de $A$ par les translation de vecteurs respectifs $\frac{b}{a+b+c}\vect{AB}$ et $\frac{c}{a+b+c}\vect{AC}$. Calculer $||\vect{AC''}||$ et $||\vect{AB''}||$.
\item Démontrer que le quadrilatère $AC''JB''$ est un losange. En déduire que $J$ est sur la bissectrice intérieure de l'angle $\hat{A}$.
\item En permutant les rôles de $A,B,C$ dans la démonstration précédente, que pourrait on démontrer ? (on ne demande pas d'écrire la preuve).
\item En déduire que le centre du cercle inscrit à $ABC$ est le barycentre du système $\{(A,a),(B,b),(C,c)\}$. 
\end{enumerate}


\end{document}








% Découper suivant les pointillés
\hspace{-3em}\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorRight} \hrulefill~\raisebox{-7pt}[0pt][\height]{\ScissorLeft}