2. Fonctions affines

Définition : fonction affine de IR dans IR.

Une fonction affine de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ est une fonction numérique de la forme

$f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto ax+b$

où $a,b\in\mathbb R$.
Lorsque $b=0$ la fonction est appelée fonction linéaire.
Lorsque $a=0$ la fonction est dite constante.

Propriété : courbe représentant une fonction affine.

Dans le plan réel munis d’un repère, la courbe représentative d’une fonction affine de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ est une droite affine.

Preuve.

Propriété : Variations d'une fonction affine

Soit $f$ une fonction affine définie sur les réels par $f(x)=ax+b$. ($a,b\in\mathbb R)$. Si

  • $a>0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.
  • $a=0$, la fonction $f$ est constante sur $\mathbb R$.
  • $a<0$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb R$.

Preuve.

Propriété : Signe d'une fonction affine

Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=ax+b$, où $a,b\in\mathbb R$.
Si $a = 0$, $f(x)=b$ est constamment du signe de $b$ !
Si $a \neq 0$,

  • si $x \in ]-\infty,-\frac{b}{a}[$, $f(x)$ est de signe opposé à $a$
  • $f(\frac{b}{a})=0$
  • si $x \in ]-\frac{b}{a},+\infty [$, $f(x)$ est de même signe que $a$

$$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x &-\infty & & -\frac{b}{a} & &+\infty \\ \hline ax+b & &-signe(a) &0 &signe(a) & \\ \hline\end{array}$$

Preuve.

Théorème : dérivée et limites d'une fonction affine

Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=ax+b$. Alors $f$ est dérivable (et donc continue) de dérivée $f'(x)=a$. En outre,

  • si $a>0$ : $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}f(x)=+\infty$, $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}}f(x)=-\infty$, $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}}f(x)=ax_0+b$.
  • si $a=0$ : $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}f(x)=\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}}f(x)=\displaystyle{\lim_{x\to x_0}}f(x)=b$.
  • si $a<0$ : $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}f(x)=-\infty$, $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}f(x)=-\infty$, $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}}f(x)=ax_0+b$.

Preuve.