Une fonction affine de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ est une fonction numérique de la forme
$f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto ax+b$
où $a,b\in\mathbb R$.
Lorsque $b=0$ la fonction est appelée fonction linéaire.
Lorsque $a=0$ la fonction est dite constante.
Dans le plan réel munis d’un repère, la courbe représentative d’une fonction affine de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ est une droite affine.
Soit $f$ une fonction affine réelle définie par $f(x)=ax+b$, ($a,b\in\mathbb R$) et $C$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
L’équation de la courbe $C$ est donc $y=ax+b$.
Cette courbe contient donc en particulier les points $A(0,b)$ et $B(1,a+b)$.
Or, par le théorème de caractérisation des droites affines, la droite affine $(AB)$ a pour équation :
$y=a’x+b’$ où $a’=\displaystyle{\frac {y_B-y_A}{x_B-x_A}}=\displaystyle{\frac{b+a-b}{1-0}}=a$ et $b’=y_A-ax_A=b$.
Ainsi, la courbe $C$ a la même équation que la droite affine $(AB)$, donc $C=(AB)$. $\square$
Soit $f$ une fonction affine définie sur les réels par $f(x)=ax+b$. ($a,b\in\mathbb R)$. Si
- $a>0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.
- $a=0$, la fonction $f$ est constante sur $\mathbb R$.
- $a<0$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb R$.
- Si $a > 0$, pour tous $x’ < x$ réels, on a $ax' < ax$ (car $a > 0$) donc $ax’+b < ax+b$, c'est-à-dire $f(x') < f(x)$. Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.
- Si $a = 0$, pour tout $x$ réel, on a $f(x)=0\times x+b=b$ donc $f$ est constante sur $\mathbb R$.
- Si $a < 0$, pour tous $x' < x$ réels, on a $ax' > ax$ (car $a < 0$) donc $ax'+b > ax+b$, c’est-à-dire $f(x’) >f (x)$. Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb R$.
Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=ax+b$, où $a,b\in\mathbb R$.
Si $a = 0$, $f(x)=b$ est constamment du signe de $b$ !
Si $a \neq 0$,
- si $x \in ]-\infty,-\frac{b}{a}[$, $f(x)$ est de signe opposé à $a$
- $f(\frac{b}{a})=0$
- si $x \in ]-\frac{b}{a},+\infty [$, $f(x)$ est de même signe que $a$
Si $a=0$, $f(x)=b$ pour tout $x\in\mathbb R$, donc est du signe de $b$.
Sinon, on a $f(-\frac{b}{a})=a\times (-\frac{b}{a}+b=-b+b=0$.
Donc pour tous $x,x’$ réels tels que $x < \frac{b}{a} < x'$, on a :
- $f(x) < 0 < f(x')$ si $a > 0$ car $f$ est alors strictement croissante d’après la propriété sur les variations d'une fonction affine.
- $f(x) > 0 > f(x’)$ si $a < 0$ car $f$ est alors strictement décroissante d'après la propriété sur les variations d'une fonction affine.
Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=ax+b$. Alors $f$ est dérivable (et donc continue) de dérivée $f’(x)=a$. En outre,
- si $a>0$ : $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}f(x)=+\infty$, $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}}f(x)=-\infty$, $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}}f(x)=ax_0+b$.
- si $a=0$ : $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}f(x)=\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}}f(x)=\displaystyle{\lim_{x\to x_0}}f(x)=b$.
- si $a<0$ : $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}f(x)=-\infty$, $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}f(x)=-\infty$, $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}}f(x)=ax_0+b$.
Pour étuidier la dérivabilité, on calcule le taux d’accroissement de $f$ en tout $x\in\mathbb R$ pour $h\neq 0$ :
$\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\displaystyle{\frac{a(x+h)+b-(ax+b)}{h}}=\displaystyle{\frac{ax+ah+b-ax-b}{h}}=\displaystyle{\frac{ah}{h}}=a$
donc on a bien $f’(x)=\displaystyle{\lim_{h\to 0}}\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=a$.
On en déduit que $f$ est continue sur $\mathbb R$, donc $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}}f(x)=f(x_0)=ax_0+b$ pour tout $x_0\in\mathbb R$.
Enfin,
- si $a>0$,
- Comme $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$ et $a>0$, par produit $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax=+\infty$. Donc par somme, $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax+b=+\infty$.
- Comme $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$ et $a>0$, par produit $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax=-\infty$. Donc par somme, $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax+b=-\infty$.
- si $a<0$,
- Comme $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$ et $a<0$, par produit $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax=-\infty$. Donc par somme, $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax+b=-\infty$.
- Comme $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$ et $a>0$, par produit $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax=+\infty$. Donc par somme, $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax+b=+\infty$.
- si $a=0$, $f(x)=b$ pour tout $x$, donc les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ sont égales à $b$.
