1. Équation réduite d'une droite affine

Théorème : caractérisation des droites affines

Dans un repère, soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ tels que $x_A\neq x_B$. Alors la droite $(AB)$ est l’ensemble des points $M(x;y)$ qui vérifient l’une des équations équivalentes

$ \qquad y=\displaystyle{\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)+y_A\Leftrightarrow y=ax+b}$ avec $\left\{\begin{array}{l} \displaystyle{ a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\\ b=-ax_A+y_A\end{array}\right.$

Définition. L’équation $y=ax+b$ est appelée équation réduite de la droite (AB); elle ne dépend pas du choix de A et de B. Le nombre $a$ est le coefficient directeur de la droite (AB), et le nombre $b$ l'ordonée à l'origine de (AB) : en effet, il s’agit de l’ordonnée du point de (AB) d’abscisse 0.

Remarque. Si A et B ont la même abscisse $x_A=x_B$ et des ordonnées différentes $y_B\neq y_A$, la droite $(AB)$ est l’ensemble des $M(x,y)$ dont les coordonnées vérifient l’équation $x=x_A$.

Preuve.

Exemple : reconnaître l'équation réduite d'une droite tracée

Propriété : caractériser les droites parallèles

Dans un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, deux droites D et D’ d’équations respectives $y=ax+b$ et $y=a’x+b’$ sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur : $a=a’$.

Preuve.

Exemple : Droite parallèle à une autre, passant par un point.