Dans un repère, soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ tels que $x_A\neq x_B$. Alors la droite $(AB)$ est l’ensemble des points $M(x;y)$ qui vérifient l’une des équations équivalentes
$ \qquad y=\displaystyle{\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)+y_A\Leftrightarrow y=ax+b}$ avec $\left\{\begin{array}{l} \displaystyle{ a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\\ b=-ax_A+y_A\end{array}\right.$
Définition. L’équation $y=ax+b$ est appelée équation réduite de la droite (AB); elle ne dépend pas du choix de A et de B. Le nombre $a$ est le coefficient directeur de la droite (AB), et le nombre $b$ l'ordonée à l'origine de (AB) : en effet, il s’agit de l’ordonnée du point de (AB) d’abscisse 0.
Remarque. Si A et B ont la même abscisse $x_A=x_B$ et des ordonnées différentes $y_B\neq y_A$, la droite $(AB)$ est l’ensemble des $M(x,y)$ dont les coordonnées vérifient l’équation $x=x_A$.
Sachant que $x_B\neq x_A$, on a $x_B-x_A\neq 0$ (ce qui nous permettra de diviser par $x_B-x_A$).
En conséquence, $\overrightarrow{AB}\neq \overrightarrow {0}$ (car l’abscisse de $\overrightarrow{AB}$ vaut $x_B-x_A$).
Ainsi,
$\begin{eqnarray} M \in (AB) & \Leftrightarrow & \textrm{A,B et M alignés} \\ & \Leftrightarrow & \overrightarrow{AB} \textrm{ et } \overrightarrow{AM} \textrm{ colinéaires} \\ & \Leftrightarrow & \textrm{il existe } k \in \mathbb{R} \textrm{ tel que } \overrightarrow{AM} = k \overrightarrow{AB} \\ & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} x-x_A=k(x_B-x_A) \\ y-y_A=k(y_B-y_A) \end{array} \right .\\ & \Leftrightarrow & \left\{\begin{array}{l} k=\displaystyle{\frac{x-x_A}{x_B-x_A}} \\ y-y_A=k(y_B-y_A)\end{array}\right. \\ & \Leftrightarrow & \displaystyle{y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\times (x-x_A)} \\ & \Leftrightarrow & \displaystyle{y=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\times (x-x_A)+y_A} \\ & \Leftrightarrow & y=a (x-x_A)+y_A \\ & \Leftrightarrow & y=ax-ax_A+y_A \\ & \Leftrightarrow & y=ax+b \end{eqnarray}$
| Reconnaître l’équation réduite $y=ax+b$ de (AB), où $a=\frac c d$ et $b=\frac e f$. ($d=0$ pour $x=b$).
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Dans un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, deux droites D et D’ d’équations respectives $y=ax+b$ et $y=a’x+b’$ sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur : $a=a’$.
On choisit deux points A et B sur D, puis deux points A’ et B’ sur D’ :
$A(0,b)\in D$, $B(1,a+b)\in D$. On a : $\vec{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ a\end{array}\right)$
$A(0,b’)\in D’$, $B(1,a’+b’)\in D’$. On a : $\vec{A’B'}=\left(\begin{array}{c}1\\ a’\end{array}\right)$
Or les droites D et D’ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{A’B'}$ sont colinéaires.
Et on a : $\vec{AB}=k\vec{A’B'}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} 1=k\times 1\\ a=ka’\end{array}\right.\Leftrightarrow a=a’$
Donc D et D’ sont colinéaires si et seulement si a=a’. $\square$
| Reconnaître l’équation réduite $y=ax+b$ de la parallèle à (AB) passant par b ($d=0$ pour $x=b$).
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Une fonction affine de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ est une fonction numérique de la forme
où $a,b\in\mathbb R$.
Lorsque $b=0$ la fonction est appelée fonction linéaire.
Lorsque $a=0$ la fonction est dite constante.
Dans le plan réel munis d’un repère, la courbe représentative d’une fonction affine de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ est une droite affine.
Soit $f$ une fonction affine réelle définie par $f(x)=ax+b$, ($a,b\in\mathbb R$) et $C$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
L’équation de la courbe $C$ est donc $y=ax+b$.
Cette courbe contient donc en particulier les points $A(0,b)$ et $B(1,a+b)$.
Or, par le théorème de caractérisation des droites affines, la droite affine $(AB)$ a pour équation :
$y=a’x+b’$ où $a’=\displaystyle{\frac {y_B-y_A}{x_B-x_A}}=\displaystyle{\frac{b+a-b}{1-0}}=a$ et $b’=y_A-ax_A=b$.
Ainsi, la courbe $C$ a la même équation que la droite affine $(AB)$, donc $C=(AB)$. $\square$
Soit $f$ une fonction affine définie sur les réels par $f(x)=ax+b$. ($a,b\in\mathbb R)$. Si
- $a>0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.
- $a=0$, la fonction $f$ est constante sur $\mathbb R$.
- $a<0$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb R$.
- Si $a > 0$, pour tous $x’ < x$ réels, on a $ax' < ax$ (car $a > 0$) donc $ax’+b < ax+b$, c'est-à-dire $f(x') < f(x)$. Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.
- Si $a = 0$, pour tout $x$ réel, on a $f(x)=0\times x+b=b$ donc $f$ est constante sur $\mathbb R$.
- Si $a < 0$, pour tous $x' < x$ réels, on a $ax' > ax$ (car $a < 0$) donc $ax'+b > ax+b$, c’est-à-dire $f(x’) >f (x)$. Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb R$.
Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=ax+b$, où $a,b\in\mathbb R$.
Si $a = 0$, $f(x)=b$ est constamment du signe de $b$ !
Si $a \neq 0$,
- si $x \in ]-\infty,-\frac{b}{a}[$, $f(x)$ est de signe opposé à $a$
- $f(\frac{b}{a})=0$
- si $x \in ]-\frac{b}{a},+\infty [$, $f(x)$ est de même signe que $a$
Si $a=0$, $f(x)=b$ pour tout $x\in\mathbb R$, donc est du signe de $b$.
Sinon, on a $f(-\frac{b}{a})=a\times (-\frac{b}{a}+b=-b+b=0$.
Donc pour tous $x,x’$ réels tels que $x < \frac{b}{a} < x'$, on a :
- $f(x) < 0 < f(x')$ si $a > 0$ car $f$ est alors strictement croissante d’après la propriété sur les variations d'une fonction affine.
- $f(x) > 0 > f(x’)$ si $a < 0$ car $f$ est alors strictement décroissante d'après la propriété sur les variations d'une fonction affine.
Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=ax+b$. Alors $f$ est dérivable (et donc continue) de dérivée $f’(x)=a$. En outre,
- si $a>0$ : $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}f(x)=+\infty$, $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}}f(x)=-\infty$, $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}}f(x)=ax_0+b$.
- si $a=0$ : $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}f(x)=\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}}f(x)=\displaystyle{\lim_{x\to x_0}}f(x)=b$.
- si $a<0$ : $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}f(x)=-\infty$, $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}f(x)=-\infty$, $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}}f(x)=ax_0+b$.
Pour étuidier la dérivabilité, on calcule le taux d’accroissement de $f$ en tout $x\in\mathbb R$ pour $h\neq 0$ :
$\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\displaystyle{\frac{a(x+h)+b-(ax+b)}{h}}=\displaystyle{\frac{ax+ah+b-ax-b}{h}}=\displaystyle{\frac{ah}{h}}=a$
donc on a bien $f’(x)=\displaystyle{\lim_{h\to 0}}\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=a$.
On en déduit que $f$ est continue sur $\mathbb R$, donc $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}}f(x)=f(x_0)=ax_0+b$ pour tout $x_0\in\mathbb R$.
Enfin,
- si $a>0$,
- Comme $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$ et $a>0$, par produit $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax=+\infty$. Donc par somme, $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax+b=+\infty$.
- Comme $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$ et $a>0$, par produit $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax=-\infty$. Donc par somme, $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax+b=-\infty$.
- si $a<0$,
- Comme $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$ et $a<0$, par produit $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax=-\infty$. Donc par somme, $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax+b=-\infty$.
- Comme $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$ et $a>0$, par produit $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax=+\infty$. Donc par somme, $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}ax+b=+\infty$.
- si $a=0$, $f(x)=b$ pour tout $x$, donc les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ sont égales à $b$.
Une fonction réelle $f$ est une fonction affine par morceaux si son ensemble de définition est une réunion finie d’intervalles sur lesquels $f$ coïncide avec une fonction affine.
La valeur absolue est une fonction affine par morceaux définie sur $\mathbb R$, on note $|x|$ la valeur absolue de $x$. Elle vaut :
$|x|=\left\{\begin{array}{ll} &x\mathrm{ si } x\in[0;+\infty[\\-&x\mathrm{ si } x\in]-\infty;0[\end{array}\right.$
Représentation graphique :
Courbe y=|x|
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