Séries de Fourier
ATS : Séries de Fourier (4) et Réduction (1)
Cours 18 : Séries de Fourier
- 3. CONVERGENCE PONCTUELLE D’UNE SÉRIE DE FOURIER
- 3.1 Théorème de Dirichlet (démo sous forme d’un problème dans le cas 2π-périodique et de classe C2.
Cours 19 : Réduction d’endomorphismes
- 1. ENDOMORPHISMES DIAGONALISABLES
- 1.1 Introduction (problème d’introduction)
- 1.2 Éléments propres (définition, exemple)
DM 15 ; pour le 16-03-16 : exercice 10 du TD §18 (séries de Fourier extrait du concours ATS 2016)
ATS : Séries de Fourier (3)
TD du Cours 18 : Séries de Fourier
- exercice 5 : série de Fourier d’une fonction paramétrée (définie par f(t)=ch(ut) sur [-π,π] et 2π-périodique). Application de Dirichlet et Parseval au calcul de sommes de séries.
- exercice 7 : (esquisse) : absolue convergence des séries de Fourier de fonctions de classe C2.
ATS : Séries de Fourier (2)
TD du Cours 18 : Séries de Fourier
- exercice 4 : série de Fourier d’un trinôme, applications de Dirichlet et Parseval au calcul de séries numériques
- exercice 6 : Inéglité de Wirtinger
- exercice 1 : coefficients de Fourier de fonctions périodiques
ATS : Séries de Fourier (1)
Cours 18 : Séries de Fourier
- 1. POLYNÔMES DE FOURIER
- 1.1. Définition
- 1.2. Formule intégrale des coefficients d’un polynôme de Fourier
- 2. SÉRIE DE FOURIER
- 2.1 Coefficients de Fourier
- 2.2 Série de Fourier d’une fonction
- 3. CONVERGENCE PONCTUELLE D’UNE SÉRIE DE FOURIER
- 3.1 Théorème de Dirichlet (énoncé sans démo et exemples)
- 3.2 Applications (calcul de séries)
- 4. CONVERGENCE EN MOYENNE QUADRATIQUE
- 4.1 Théorème de Parseval
Programme de colle, semaine 20 du 14-03-16 au 18-03-16
- §18 Séries de Fourier
- définition des coefficients an et bn avec la possibilité de choisir un intervalle d’intégration de longueur une période
- conséquences de la parité sur les coefficients de Fourier
- définition d’une série de Fourier
- théorème de Dirichlet, et application au calcul de séries
- théorème de Parseval et application au calcul de séries
- §16 Séries numériques
- séries géométriques
- séries de Riemann
- séries à termes positifs : comparaison, équivalence et absolue convergence
- critère de d’Alembert
- divergence grossière d’une série
- critère spécial des séries alternées (Leibniz)
- séries télescopiques
ATS : Révisions (14)
Rappels : sur les séries de Fourier.
Exercices type oral du concours sur les séries de Fourier.
ATS : Révisions (5)
Révisions : sur les séries de Fourier
- exercice 3 du concours ATS 2012 : Série de Fourier de la somme sur les entiers relatifs n des exp(t-n)
ATS : Séries de Fourier (3) TD
TD du Cours 18 :
- exercice 5 : série de Fourier de x->ch(ax) sur [-π,π]
- exercice 6 : inégalité de Wirtinger
ATS : Séries de Fourier (2) TD
TD du Cours 18 :
- exercices 1 (1,2 et 3) : détermination de séries de Fourier
- exercice 3 : série de Fourier de la valeur absolue sur [-2,2]
- exercice 4 : série de Fourier de x²- π² application au calcul de ∑ (-1)n/n² et ∑ 1/n²
ATS : Séries de Fourier (1)
Cours 18 : Séries de Fourier
- 1. POLYNÔMES DE FOURIER
- 1.1 Définition (et exemples)
- 1.2 Coefficients d’un polynôme de Fourier et intégrales
- 1.3 Interprétation géométrique
- 2. SÉRIE DE FOURIER D’UNE FONCTION
- 2.1 Coefficients de Fourier (définition et exemples)
- 2.2 Série de Fourier d’une fonction (défintion et exemple)
- 3. CONVERGENCE PONCTUELLE D’UNE SÉRIE DE FOURIER
- 3.1 Théorème de Dirichlet (énoncé, exemple)
- 3.2 Applications (Calcul de séries numériques, propriété d’intégration, exemples)
- 4. CONVERGENCE QUADRATIQUE D’UNE SÉRIE DE FOURIER
- 4.1 Théorème de Parseval (énoncé, exemple)
Programme de colle, semaine [19] du 09-03 :
- §15 Séries numériques : convergence des séries de Riemann et des séries géométriques. Séries à termes positifs : nature par équivalence, encadrement ou négligeabilité des termes généraux. Convergence absolue. Critère des séries alternées, critère de d’Alembert, divergence grossière. Télescopages.
- §18 Séries de Fourier : coefficients de Fourier an et bn d’une fonction, théorème de Dirichlet et théorème de Parseval, application au calcul de séries numériques.
ATS : Révisions (3) TD
Cours 24 : Révisions
- 3. Problème d’analyse de Fourier, ATS 2009 (somme de cosinus (somme géométrique, angle moitié), intégrales généralisées, séries de Fourier (Parseval, moyenne), séries entières)
ATS : DS 6
Contrôle 9 : 3 heures
- exercice 1 : diagonalisation et puissances de matrices paramétrées
- exercice 2 : série de Fourier et application à des séries numériques (Parseval, Dirichlet)
- exercice 3 : problème de géométrie autour de l’astroïde
ATS : Séries de Fourier (4) ; Espaces euclidiens (2) TD
TD du Cours 21 :
- exercice 1.5 : série de Fourier d’une fonction affine par morceaux
- exercice 7 : convergence absolue de la série de Fourier d’une fonction de classe C²
TD du Cours 22 :
- exercice 7 : géométrie dans l’espace des polynômes de degrés inférieur ou égal à 2
ATS : Séries de Fourier (3) TD
TD du Cours 21 :
- exercice 3 : série de Fourier de la valeur absolue sur [-2,2]
- exercice 5 : série de Fourier de x->ch(ax) sur [-π,π]
- exercice 6 : inégalité de Wirtinger
ATS : Séries de Fourier (2) et Espaces euclidiens (1)
TD du Cours 21 :
- exercice 4 : série de Fourier d’un trinôme et applications du théorème de Dirichlet
Cours 22 : Espaces Euclidiens
- 1. ESPACES EUCLIDIENS
- 1.1 Produit scalaire et norme (définitions et exemples, inégalités de Cauchy, triangulaire, théorème de Pythagore, exemples)
- 1.2 Projections orthogonales (espace orthogonal, projection, distance d’un vecteur à un sous-espace, exemples)
- 1.3 Bases orthonormales (définition, procédé d’orthonormalisation de Schmidt)
ATS : Séries de Fourier (1)
Cours 21 : Séries de Fourier
- 1. PRODUIT SCALAIRE
- 1.1 Définition abstraite du produit scalaire
- 1.2 Projection orthogonale, théorème de Pythagore
- 2. SÉRIE DE FOURIER D’UNE FONCTION
- 2.1 Coefficients de Fourier
- 2.2 Série de Fourier d’une fonction
- 3. CONVERGENCE PONCTUELLE
- 3.1 Théorème de Dirichlet
- 3.2 Applications
- 4.CONVERGENCE EN MOYENNE QUADRATIQUE
- 4.1 Théorème de Parseval
TD du Cours 21 :
- exercice 1.1 et 1.2 : calcul de coefficients de Fourier