Limites
ATS : Analyse asymptotique (4)
TD du Cours 7 :
- exercice 7 : étude locale d’une courbe à l’aide de développements limités
- exercice 4.4 : limites et développements limités
- exercice 3 : calculs de développements limités
ATS : Analyse asymptotique (3)
TD du Cours 7 :
- exercice 1 : limites et équivalents
- exercice 5 : limite d’une suite
- exercice 7 : limite d’une fonction
ATS : Analyse asymptotique (2)
Cours 7 : Analyse asymptotique
- 2. MÉTHODES DE COMPARAISON
- 2.3 Relation d’équivalence
- 3. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
- 3.1 Définition du développement limité d’une fonction
- 3.2 Propriétés des développements limités (unciité, parité)
- 3.3 Opérations sur les développements limités
- 4. FORMULE DE TAYLOR
- 4.1 Intégrer les développements limités
- 4.2 Formule de Taylor Young
- 4.3 Dérivation des développements limités
- 5. APPLICATIONS DES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
- 5.1 Calcul de limites
- 5.2 Recherche d’équivalents
- 5.3 Continuité, dérivabilité, tangentes
- 5.4 Recherche d’asymptotes
Programme de colle, semaine 8 du 23-11-15 au 27-11-15
§6 Équations différentielles :
- savoir résoudre des équations de la forme y’+a y=b avec a et b continues sur un intervalle I.
- savoir résoudre les équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants et seconds membres (se ramenant à) des exponentielles-polynômes
§7 Analyse asymptotique : il faut
- connaître absolument et sans hésiter le DL en 0 à tout ordre de 1/(1-x) et exp(x).
- connaître ou savoir retrouver à l’aide de moyens mnémotechniques ou calculs les DL en 0 à tout ordre de cos(x), sin(x), ch(x), sh(x)
- connaître ou savoir retrouver par intégration le DL en 0 à tout ordre de ln(1+x)
- connaître ou savoir retrouver le DL en 0 à l’ordre 3 de tan (c’est le programme qui le dit)
- connaître à l’ordre 2 et savoir retrouver grâce à Taylor le DL aux ordres supérieurs en 0 de (1+x)^a
- savoir retrouver les DL en 0 à tout ordre de arctan, à des ordres raisonnables de arcsin, arccos, racine carrée de (1+x) etc…
- calculer un DL en 0 par opérations, composition, intégration des DL de référence précédents
- savoir la formule de Taylor
- calculer un DL ailleurs qu’en 0 via un changement de variable
- savoir utiliser les DL pour calculer une limite
- savoir utiliser les DL pour faire l’étude locale d’une fonction (tangente, éventuel prolongement par continuité et dérivabilité du prolongement, position relative courbe-tangente locale)
- savoir utiliser les DL pour obtenir un équivalent (et connaître la définition d’un équivalent)
- savoir utiliser les DL en 1/x pour obtenir l’équation d’une asymptote, et éventuellement la position relative locale avec la courbe.
- savoir la définition de u(x)=o(v(x)) au voisinage de a
ATS : Analyse asymptotique (1)
Cours 7 : Analyse asymptotique
- 1. NOTION DE LIMITE
- 1.1 Limite en un réel (définitions, exemples)
- 1.2 Limite en l’infini (définitions, exemples)
- 1.3 Opérations sur les limites (tableaux, exemples de démonstrations)
- 1.4 Techniques pour lever les formes indéterminées (quantité conjuguée, changement d’écriture, de variable)
- 2. MÉTHODES DE COMPARAISON
- 2.1 Inégalités et limites (théorèmes de comparaison, passage à la limite)
- 2.2 Relation de négligeabilité (définition, croissances comparées, opérations)
Programme de colle, semaine 7 du 16-11-15 au 20-11-15
- §6 Équations différentielles :
- savoir résoudre des équations de la forme y’+a y=b avec a et b continues sur un intervalle I.
- savoir résoudre les équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants et seconds membres (se ramenant à) des exponentielles-polynômes
- §5 Courbes paramétrées et §4 Géométrie plane. Savoir étudier une courbe paramétrée :
- recherche du domaine d’étude en étudiant les symétries
- variations simultanées
- trouver un vecteur tangent en un point stationnaire
- branches paraboliques
- trouver l’équation de la tangente ou de la normale au point de paramètre t, et, éventuellement, de la géométrie autour de cette droite.
ATS : Révisions (9)
Rappels : sur les équations différentielles du premier ordre linéaire, du second ordre linéaires à coefficients constants avec second membre exponentiel polynôme, non linéaires à variables séparables.
Exercices type oral du concours sur les équations différentielles.
Exercices type oral du concours sur les limites et développements limités.
ATS : Limites (4) TD
TD du Cours 10 :
- exercice 3 : les applications définies sur les réels, continues et à valeurs entières sont constantes
- exercice 5 : dérivées d’ordre n
- exercice 7 : équivalent de la somme des inverses des racines d’entiers
ATS : Limites (3) TD
TD du Cours 10 :
- exercice 2 : limites et équivalents
- exercice 6 : étude d’une fonction définie avec des racines cubiques (y compris : asymptotes, continuité et dérivabilité)
ATS : Limites (2)
Cours 10 : Limites
- 2. MÉTHODES DE COMPARAISON
- 2.2 Relation d’équivalence (définition, propriétés et exemples)
- 3. FONCTIONS CONTINUES
- 3.1 Définition et premières applications (définition, théorèmes généraux, prolongement continu, exemples)
- 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires (et exemples)
- 3.3 Théorème du maximum
- 4. FONCTIONS DÉRIVABLES
- 4.1 Définition et interprétation
- 4.2 Opérations sur les dérivées (usuelles, composition, fonction réciproque)
- 4.3 Dérivées d’ordre supérieur (fonctions de classe Ck formule de Leibniz)
Programme de colle, semaine [12] du 5-01 :
- §10 Limites : Limites de fonctions (opérations usuelles, composition, quantité conjuguée, changement de variable), relation de prépondérance (définition, somme), relation d’équivalence (définition, produits), continuité et dérivabilité en un point, théorème des valeurs intermédiaires, théorème du maximum (une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes), théorème et inégalité des accroissements finis. Études de fonctions usuelles. Dérivée d’ordre n, formule de Leibniz.
ATS : Limites (1)
Cours 10 : Limites
- 1. NOTION DE LIMITE
- 1.1 Limite en un réel (définition, exemples fondamentaux)
- 1.2 Limite en l’infini (définition et exemples fondamentaux)
- 1.3 Opérations et limites (opérations classiques, composition, exemples)
- 1.4 Techniques pour lever les formes indéterminées (Quantité conjuguée, changement de variable,…)
- 2. MÉTHODES DE COMPARAISON
- 2.1 Inégalités et limites (théorèmes d’encadrement, relation de prépondérance)
ATS : Limites (5) TD
TD du Cours 11 :
- exercice 3 : applications continues à valeurs entières ?
- exercice 6 : étude locale et globale d’une composée avec racine cubique.
- exercice 7 : somme des inverses des racines d’entiers.
- exercice 11 : approximations et inégalité des accroissements finis
ATS : Limites (4) et Polynômes (1)
Cours 11 : Limites
- 4. FONCTIONS DÉRIVABLES
- 4.3 Dérivées d’ordre supérieur (formule de Leibniz, fonctions de classe Ck)
Cours 12 : Polynômes et fractions rationnelles
- 1. NOTION DE POLYNÔME
- 1.1 Espaces vectoriels de polynômes (K[X], Kn[X] avec K=R,C, degré, famille échelonnée de polynômes, exemples)
- 1.2 Dérivation (propriétés, exemple : base de Taylor de Kn[X])
- 1.3 Division euclidienne de polynômes (théorème, algorithme, exemples)
- 2. RACINES DE POLYNÔMES
- 2.1 Racines et factorisation (racine et multiplicité, caractérisation)
Programme de colle de la semaine du 13-01 au 17-01 :
- §11 : Limites : opérations, composées, puissances, radicaux, prépondérance, équivalents, comparaison. Continuité : étude de continuité, prolongement par continuité, théorème des valeurs intermédiaires et de la bijection. Dérivabilité : dérivées de fonctions usuelles, dérivabilité ponctuelle, dérivées d’ordre n et formule de Leibniz, inégalité et théorème des accroissements finis et application.
- §12 : Polynômes : polynômes, opérations, dérivation, division euclidienne, factorisation dans R et C, somme et produit de racines.
ATS : Limites (3)
Cours 11 : Limites
- 3. FONCTIONS CONTINUES
- 3.1 Définition et premières applications (continuité, prolongement, points fixes, étude ponctuelle, exemples)
- 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires (rappel, image d’un intervalle par une fonction continue)
- 3.3 Théorème du maximum (énoncé, trame de démo, image d’un segment par une fonction continue)
- 4. FONCTIONS DÉRIVABLES
- 4.1 Définition et interprétations (définition, interprétations cinétique et géométrique, en termes d’équivalents)
- 4.2 Opérations sur les dérivées (théorèmes généraux, composition, réciproques)
- 4.4 Égalité des accroissements finis et applications (Rolle, TAF, application aux variations, inégalité des accroissements finis, exemples)
+ dernières questions sur le Cours 10
ATS : Limites (2) TD
TD du Cours 11 :
- exercice 1 : limites et croissances comparées
- exercice 2 : limites et équivalents
- exercice 5 : dérivées d’ordre n (points 2,3)
ATS : Limites (1)
Cours 11 : Limites
- 1. NOTION DE LIMITE
- 1.1 Limite en un réel (définition, exemples)
- 1.2 Limite en l’infini (définition, exemples)
- 1.3 Opérations sur les limites (opérations, composition, exemples)
- 1.4 Techniques pour lever les formes indéterminées (radicaux, puissances, changement de variable, exemples)
- 2. MÉTHODES DE COMPARAISON
- 2.1 Inégalités et limites (et théorèmes d’encadrement, exemples)
- 2.2 Relation de prépondérance (définition, critères, opérations et croissances comparées)
- 2.3 Relation d’équivalence (définition, critères, opérations, exemples)
Programme de colle de la semaine du 06-01 au 10-01 :
- §10 : Espaces vectoriels : tout le chapitre
- §11 : Limites : opérations, composées, puissances, radicaux, prépondérance, équivalents, comparaison. Continuité : étude de continuité, prolongement par continuité, théorème des valeurs intermédiaires et de la bijection. Dérivabilité : dérivées de fonctions usuelles, dérivabilité ponctuelle. (pas encore : Leibniz ni le TAF).
TS1 : AP (6) demi-groupes – suite
Fiche 6 : exercices au choix parmi six thèmes (équations, tangentes, limites, théorème de la bijection, récurrence, prolongement par continuité) et pour chaque thèmes trois difficultés différentes (1 à 3).