Fractions rationnelles
ATS : Polynômes (4)
TD du Cours 15 :
- exercice 8 : calcul de dérivées d’ordre n d’une fraction rationnelle via sa décomposition en éléments simples
- exercice 10 : calcul d’une intégrale en passant par une décomposition en éléments simples
- exercice 12 : calcul de la somme d’une série télescopique via une décomposition en éléments simples
- exercice 11 : inexistence de fractions rationnelles de carré égal à X
- exercice 9 : division euclidienne appliquée au calcul d’une limite
- exercice 7 : décompositions en éléments simples
ATS : Polynômes (3)
Cours 15 : Polynômes
- 3. FRACTIONS RATIONNELLES
- 3.1 Notion de fraction rationnelle (définition, exemples, structure)
- 3.2 Degré d’une fraction rationnelle (définition et propriétés)
- 4. PÔLES D’UNE FRACTION RATIONNELLE
- 4.1 Notion de pôle (définition)
- 4.2 Décomposition en éléments simples sur C (exemples, propriété)
- 4.3 Obtenir les coefficients d’une décomposition en éléments simples
- 4.4 Décomposition en éléments simples sur R
pour le 10-02-16, DM13 : exercice 10 du TD §14 (intégrales de Wallis)
ATS : Polynômes (1)
Cours 15 : Polynômes
- 1. NOTION DE POLYNÔME
- 1.1 Espaces vectoriels de polynômes (structure algébrique, famille échelonnée, exemples)
- 1.2 Dérivation (et exemple de la base de Taylor)
- 1.3 Division euclidienne de polynômes (propriété, algorithme, exemples)
- 2. RACINES DE POLYNÔMES
- 2.1 Racines et factorisation (et multiplicité d’une racine)
- 2.2 Théorème fondamental de l’algèbre (et factorisation complexe)
- 2.3 Factorisation réelle
Programme de colle, semaine 17 du 08-02-16 au 12-02-16
- §14 Intégration sur un segment
- primitives simples, théorème fondamental de l’analyse
- propriétés de l’intégrale : linéarité, Chasles, croissance, inégalité triangulaire
- intégration par parties
- changement de variable
- valeur moyenne, aire
- §15 Polynômes
- structure d’espace vectoriel, famille échelonnée de polynômes
- racines multiples, caractérisation
- division euclidienne
- factorisation des polynômes à coefficients réels ou à coefficients complexes
ATS : Fonctions usuelles (5)
Cours 2 : Fonctions usuelles
- 5. FONCTIONS RATIONNELLES
- 5.1 Rappel sur les puissances (dont les généralisation des identités remarquables)
- 5.2 Fonctions polynomiales
- 5.3 Fonctions affines
- 5.4 Fonctions trinômes
- 5.5 Fonction inverse
- 6. RADICAUX
- 6.1 Fonction racine n-ième
- 7. LOGARITHMES
- 7.1 Définition du logarithme népérien (et premières conséquences)
- 7.2 Propriétés algébriques
- 7.3 Étude de la fonction logarithme néperien
- 7.4 Croissances comparées et taux d’accroissement
- 7.5 Logarithme de base a
Devoir Maison 3 : pour le 23-09-15, exercices 4.1 et 4.6 du TD1. (deux récurrences)
ATS : Polynômes (4) TD
TD du Cours 13 :
- exercice 12 : limite d’une suite
- exercice 7 : coefficients variables d’un polynôme et divisibilité
- exercice 15 : Éléments simples et sommes télescopiques
- exercice 6 : multiplicité d’une racine
- exercice 18 : théorème de Lucas
ATS : Polynômes (3) TD
TD du Cours 13 :
- exercice 11 : dérivée n-ième d’une fraction rationnelle
- exercice 13 : intégrale d’une fraction rationnelle
- exercice 14 : il n’y a pas de fraction rationnelle F dont le carré est l’identité
- exercice 17 : puissances d’une matrice et polynôme annulateur.
- exercice 2 : division euclidienne et asymptote
ATS : Polynômes (2)
Cours 13 : Polynômes
- 2. RACINES DE POLYNÔMES
- 2.1 Racines et factorisation (définition et caractérisation des racines multiples)
- 2.2 Théorème fondamental de l’algèbre (admis, et factorisation complexe)
- 2.3 Factorisation réelle
- 3 FRACTIONS RATIONNELLES
- 3.1 Notion de fraction rationnelle (définition, structure)
- 3.2 Degré d’une fraction rationnelle (définition et propriétés)
- 3.3 Partie entière d’une fraction rationnelle (définition et exemple)
- 4. PÔLES D’UNE FRACTION RATIONNELLE
- 4.1 Notion de pôle (définition, multiplicité)
- 4.2 Décomposition en éléments simples complexes
- 4.3 Obtenir les coefficients d’une décomposition en éléments simples (méthodes et exemples)
- 4.4 Décomposition en éléments simples réels.
Programme de colle, semaine [16] du 02-02 :
- §12 Intégration : primitives usuelles, changement de variable, intégration par parties, décomposition en éléments simples, propriétés de l’intégrale, et interprétations.
- §13 Polynômes : division euclidienne, factorisation réelle et complexe, multiplicité d’une racine, décomposition en éléments simples de fractions rationnelles
ATS : Intégration (4) et Polynômes (1)
Cours 12 : Intégration sur un segment
- 3. MÉTHODES DE CALCUL
- 3.1 Intégration par parties (autres exemples)
- 3.2 Changement de variable (autres exemples)
- 3.3 Méthodes adaptées à certaines fonctions (exemples)
- 3.4 Primitives usuelles (tableau)
Cours 13 : Polynômes
- 1. NOTION DE POLYNÔME
- 1.1 Espace vectoriel des polynômes (définition, structure, base de Taylor)
- 1.2 Dérivation
- 1.3 Division euclidienne de polynômes (théorème, algorithme et exemples)
ATS : Polynômes (4) : TD
TD du Cours 12 :
- exercice 12 : dérivée n-ème d’une fraction rationnelle (via une décomposition en éléments simples)
- exercice 14 : intégrale d’une fraction rationnelle (via une décomposition en éléments simples)
- exercice 16 : calcul explicite de la somme des 1/(k(k-1)) (…)
- exercice 9 : théorème de Lucas : l’enveloppe convexe des racines complexes de P contient les racines de P’.
ATS : Fonctions (3)
Correction : du Devoir maison 2
Cours 3 : Fonctions usuelles
- 2. DÉRIVATION
- 2.2 Application aux variations de fonctions
- 3. NOTION DE CONTINUITÉ
- 3.1 Définition (en termes de limite, opérations et continuité, quelques contre-exemples)
- 3.2 Une fonction discontinue : la partie entière (définition, quelques propriétés)
- 3.3 Une fonction continue non dérivable en 0 : la valeur absolue (définition et propriétés)
- 3.4 Le théorème des valeurs intermédiaires (temporairement admis, nécessité des hypothèses, exemple)
- 3.5 Application aux inégalités et recherches de signes (prouver une inégalité ou trouver un signe en dérivant et dressant le tableau de variations d’une fonction)
- 3.6 théorème de la bijection (énoncé, démo et exemple)
- 3.7 Application aux fonctions réciproques (existence, on admet la continuité et la dérivabilité, méthode de calcul de la dérivée d’une réciproque)
- 3.8 Existence de primitives (énoncé admis, exemple du logarithme)
- 4. FONCTIONS RATIONNELLES
- 4.1 Rappels sur les puissances (dont identités (a+b)n et an+1-bn+1)
- 4.2 Fonctions polynomiales (définition, propriétés, étude des monômes selon la parité de leur exposant)
- 4.3 Fonctions affines (coefficient directeur, variations, signe)
- 4.4 Fonctions trinômes (variations et signe)
- 4.5 Rappel sur les fractions
- 4.6 Fonction inverse (définition, variations, courbe, signe)
- 5. RADICAUX
- 5.1 Fonctions racines n-ièmes
DM 3 : pour le 23-09-13 : exercices 4 et 1.3 du TD 3.
Mots-clefs : Continuité, Fonctions, Fonctions affines, Fractions rationnelles, Inverse, Racines, Trinômes
TESL : Devoir 4
Contrôle 4 : commun, 3h :
- Lecture graphique (dont des infos sur la dérivée et une primitive de la fonction représentée)
- fonctions rationnelles de coût (suivant le bac ES Nouvelle Calédonie 03-11)
- probabilités conditionnelles et loi binomiale (selon le bac ES Antilles Guyane 06-09)
- suite artihmetico-géométrique (selon la spécialité du bac ES Centres Étrangers 06-10).
TS1 : Devoir 3
Contrôle 3 : commun
- Exercice 1 : probabilités du bac S Asie juin 2007 (probabilités conditionnelles, variable aléatoire et loi binomiale)
- Exercice 2 : vrai-faux et restitution de connaissance sur les suites
- Exercice 3 : étude d’une fraction rationnelle degré 2 sur degré 2 (y compris les asymptotes)
Mots-clefs : Algorithmique, Contrôle, Dérivation, Fractions rationnelles, Limites, Probabilités, Suites
TS1 : Limites (2)
Exercices : Feuille d’exercices 11
- Étude d’une fraction rationnelle (degré 2 sur degré 2)
TS1 : Devoir 1
- exercice 1 : étude d’une fraction rationnelle (symétrie, intersection avec les axes, une tangente, position relative avec l’asymptote, variations, courbe)
- exercice 2 : étude d’une fonction trigonométrique (symétrie, variations)
- exercice 3 : étude d’une suite arithmetico-géométrique, changement de suite, somme des termes.
TS1 : Fonctions (5)
Cours 1 : généralités sur les fonctions
- 5. Fonctions trigonométrique (définitions, formules de symétrie, formules de duplication)
Exercices : Feuille d’exercices 2 : exercice 3 (étude d’une fonction trigonométrique)$
Devoirs : pour le 20-09-12, Devoir maison 3 (étude d’une fraction rationnelle et d’une fonction trigonométrique)