Archives de février, 2016
ATS : Déterminants (3)
Cours 17 : Déterminants
- 1. LE DÉTERMINANT : UNE FORME MULTILINÉAIRE ALTERNÉE
- 1.3 Multilinéarité du déterminant (démonstration)
- 2. DÉTERMINANT ET PRODUIT
- 2.3 Invariance par transposition (exemple)
- 3. EXEMPLES ET APPLICATIONS
- 3.1 Déterminant d’une famille de vecteurs (définition, application)
- 3.2 Déterminant d’un endomorphisme (définition et application)
- 3.3 Systèmes de Cramer (définition, propriétés, inverse d’une matrice 2×2)
- 3.4 Déterminant d’une matrice bloc triangulaire
TD du Cours 17 :
- exercice 2 : (suite) forme factorisée d’un déterminant 4×4 à paramètres
- exercice 9 : déterminant d’une base de IR3.
pour le 09-03-16, DM 14 (étude d’une cycloïde, géométrie ATS 2014)
ATS : Déterminants (2)
TD du Cours 17 :
- exercice 2 : forme factorisée de déterminants 3×3 à paramètres
- exercice 5 : caractère inversible d’une matrice paramétrée
- exercice 3 : déterminant d’une matrice nxn
- exercice 11 : déterminants et automorphismes de l’espace
ATS : Séries numériques (4)
TD du Cours 16 :
- exercice 1 : (suite) nature de séries par équivalents simples ou critère de Leibniz
- exercice 2 : (suite) nature et convergence d’une série télescopique
- exercice 5 : formule de Stirling
ATS : Déterminants (1)
Cours 17 : Déterminants
- 1. LE DÉTERMINANT : UNE FORME MULTILINÉAIRE ALTERNÉE
- 1.1 Notion de déterminant (développement par rapport à la première ligne)
- 1.2 Caractère alterné (propriété et applications)
- 1.3 Multilinéarité du déterminant (propriété et applications)
- 2. DÉTERMINANT ET PRODUIT
- 2.1 Déterminants nuls
- 2.2 Multiplicativité du déterminant (propriété)
- 2.3 Invariance par transposition (propriété et conséquences)
Programme de colle, semaine 19 du 07-03-16 au 11-03-16
- §16 Séries numériques
- séries géométriques
- séries de Riemann
- séries à termes positifs : comparaison, équivalence et absolue convergence
- critère de d’Alembert
- divergence grossière d’une série
- critère spécial des séries alternées (Leibniz)
- séries télescopiques
- §17 Déterminants
- déterminant d’une matrice triangulaire
- utilisation de la multilinéarité pour faire apparaître des zéros ou factoriser un déterminant
- développement par rapport à une ligne ou une colonne
- reconnaître un déterminant nul
- déterminant d’un endomorphisme dans une base
- application à la caractérisation de matrices inversibles, de bases, d’automorphismes.
- caractère alterné, multiplicativité, invariance par transposition.
ATS : Séries numériques (3)
Cours 16 : Séries numériques
- 2. SÉRIES À TERMES POSITIFS
- 2.4 Convergence absolue (démo)
- 3. MÉTHODES D’ÉTUDE
- 3.1 Divergence grossière
- 3.2 Séries télescopiques
- 3.3 Séries alternées (énoncé du critère de Leibniz)
- 3.4 Critère de D’Alembert
- 3.5 Comparaison série – intégrale
- 3.6 Méthodes de calcul
TD du Cours 16 :
- exercice 2 : séries télescopiques
- exercice 1 : nature de séries plus compliquées (suite)
ATS : Séries numériques (2)
TD du Cours 16 :
- exercice 3 : nature de séries par équivalents simples ou critère de Leibniz
- exercice 4 : nature et convergence d’une série télescopique
- exercice 1 : nature de séries plus compliquées
ATS : Polynômes (4)
TD du Cours 15 :
- exercice 8 : calcul de dérivées d’ordre n d’une fraction rationnelle via sa décomposition en éléments simples
- exercice 10 : calcul d’une intégrale en passant par une décomposition en éléments simples
- exercice 12 : calcul de la somme d’une série télescopique via une décomposition en éléments simples
- exercice 11 : inexistence de fractions rationnelles de carré égal à X
- exercice 9 : division euclidienne appliquée au calcul d’une limite
- exercice 7 : décompositions en éléments simples
ATS : Séries numériques (1)
Cours 16 : Séries numériques
- 1. DÉFINITION ET EXEMPLES
- 1.1 Notion de série (série, série convergente, structure et exemples)
- 1.2 Séries géométriques (définition et propriétés)
- 1.3 Séries de Riemann (définitions et propriétés)
- 2. SÉRIES À TERMES POSITIFS
- 2.1 Alternative du comportement d’une série à termes positifs
- 2.2 Comparaisons de séries à termes positifs (par inégalités ou prépondérance, exemples)
- 2.3 Séries et équivalents (propriété et exemples)
- 2.4 Convergence absolue (énoncé)
- 3. MÉTHODES D’ÉTUDE
- 3.3 Séries alternées (énoncé du critère de Leibniz)
Programme de colle, semaine 18 du 15-02-16 au 19-02-16
- §16 Séries numériques
- séries géométriques
- séries de Riemann
- séries à termes positifs : comparaison, équivalence et absolue convergence
- critère de d’Alembert
- divergence grossière d’une série
- critère spécial des séries alternées (Leibniz)
- séries télescopiques
- §15 Polynômes
- décomposition en éléments simples et applications
ATS : Polynômes (3)
Cours 15 : Polynômes
- 3. FRACTIONS RATIONNELLES
- 3.1 Notion de fraction rationnelle (définition, exemples, structure)
- 3.2 Degré d’une fraction rationnelle (définition et propriétés)
- 4. PÔLES D’UNE FRACTION RATIONNELLE
- 4.1 Notion de pôle (définition)
- 4.2 Décomposition en éléments simples sur C (exemples, propriété)
- 4.3 Obtenir les coefficients d’une décomposition en éléments simples
- 4.4 Décomposition en éléments simples sur R
pour le 10-02-16, DM13 : exercice 10 du TD §14 (intégrales de Wallis)
ATS : Intégration (4)
TD du Cours 14 :
- exercice 2 : intégrale d’un polynôme trigonométrique
- exercice 3 : intégrale d’une fonction irrationnelle
- exercice 8 : étude d’une suite d’intégrales
- exercice 14 : Développement limité d’une fonction définie par une intégrale
- exercice 13 : Équation différentielle d’ordre 1
ATS : Polynômes (2)
TD du Cours 15 :
- exercice 1 : division euclidienne et asymptotes
- exercice 13 : calcul des puissances d’une matrice via la factorisation de Xn par son polynôme minimal
- exercice 4 : trouver des coefficients variables pour qu’un polynôme soit divisible par un trinôme
- exercice 3 : multiplicité d’une racine
ATS : Polynômes (1)
Cours 15 : Polynômes
- 1. NOTION DE POLYNÔME
- 1.1 Espaces vectoriels de polynômes (structure algébrique, famille échelonnée, exemples)
- 1.2 Dérivation (et exemple de la base de Taylor)
- 1.3 Division euclidienne de polynômes (propriété, algorithme, exemples)
- 2. RACINES DE POLYNÔMES
- 2.1 Racines et factorisation (et multiplicité d’une racine)
- 2.2 Théorème fondamental de l’algèbre (et factorisation complexe)
- 2.3 Factorisation réelle
Programme de colle, semaine 17 du 08-02-16 au 12-02-16
- §14 Intégration sur un segment
- primitives simples, théorème fondamental de l’analyse
- propriétés de l’intégrale : linéarité, Chasles, croissance, inégalité triangulaire
- intégration par parties
- changement de variable
- valeur moyenne, aire
- §15 Polynômes
- structure d’espace vectoriel, famille échelonnée de polynômes
- racines multiples, caractérisation
- division euclidienne
- factorisation des polynômes à coefficients réels ou à coefficients complexes